5. Аппарат экспертного описания объектов

/Предпосылки к практическому применению – невозможность формализации постановок задач и методов ее решения, необходимость использовать для этого разум: интеллект, интуицию, сознание, опыт, компетенции и т.п. людей или искусственный/

6. Аппарат фракталов и динамического хáоса

6.1. ФРАКТАЛЫ /Предпосылки практического применения – описание статики объектов, когда: а) известные геометрические фигуры не позволяют этого сделать;

б) результаты описания существенно зависят от уменьшения единиц измерения/

Фрактал:  рекурсивно самоподобное множество дробной (нецелой) размерности;

• множество, размерность Хаусдорфа d которого строго больше топологической s.

Дробная (фрактальная) размерность Хаусдорфа (1919 г.) Объемная фигура размерности d разбивается на N частей, объем каждой из которых в раз меньше исходного, так, что . Если d – нецелое, то – есть дробная (фрактальная) размерность объема Фрактальная рекурсия Алгебраическая рекурсия , где Z и С – комплексные числа . Геометрическая рекурсия Часть из N частей -ой фигуры уменьшается в r раз от исходной и копируется N раз в этой части на каждом п-м шаге, п  1.

N=3, r=1/3; d=s=1 N=9, r=1/3; d=s=2 N=27, r=1/3; d=s=3

6.2. Примеры детерминированных алгоритмов построения фрактала Кривая Коха

N = 3; r = 1/3, d0 = 1. Длина р = 1

N = 4; r = 1/3, d1  1,2618

N = 4; r = 1/3, d1  1,2618

dn = log4/log3  1,2618; длина

Снежинка Коха

Предельная длина границы (периметр) снежинки Коха бесконечность

6.2. Примеры детерминированных алгоритмов построения фрактала

Ковер Серпинского, d = log(3)/log(2)  1,585

Топологическая размерность (площадь s) ковра Серпинского равна нулю.

Звезда Дюрера

Пирамида Серпинского

Примеры рандомизированных алгоритмов и случайных фракталов смотри в Кроновер Р.М. «Фракталы и хáос в динамических системах». – М.: Техносфера, 2006. – 488 с.

6.3. Динамический (детерминированный) хáос

/Предпосылки практического применения: детерминированно изменяющиеся объекты с неустойчивыми траекториями изменений, в которых любое отклонение от траектории изменения, в частности неточность в задании начального состояния, быстро хаотически проявляются со временем, т.е. детерминированные объекты с ограниченным горизонтом прогноза/. В детерминированных объектах можно предсказывать поведение на сколь угодно длительное время, в абсолютно стохастических – предсказание невозможно, в стохастических – возможно вероятностное предсказание, достоверность которого падает с увеличением лага предсказания.

Для возникновения хáоса в динамической системе необходимо, чтобы в ее фазовом пространстве :

• все (или почти все) соседние траектории внутри некоторой области разбегались;

• все они оставались внутри ограниченного фазового объема.