- •Определители n-го порядка.
- •Обратная матрица.
- •Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •Произвольная система линейных уравнений.
- •Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •Линейное пространство
- •Размерность и базис линейного пространства
- •Скалярное произведение векторов
- •Скалярное произведение в координатной форме
- •Векторное произведение векторов.
- •Векторное произведение в координатной форме
- •Смешанное произведение векторов.
- •Аналитическая геометрия Простейшие задачи аналитической геометрии
- •Полярная система координат
- •Формулы преобразования системы координат
- •1. Параллельный перенос
- •Поворот осей координат
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя прямыми в пространстве
- •Асимптоты гиперболы
- •Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола
- •Общие свойства кривых второго порядка
- •Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду
Произвольная система линейных уравнений.
А – матрица СЛУ
В – расширенная матрица СЛУ
Тh: Кронекера - Капелли
Для того чтобы произвольная система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы r(A)=r(B).
Примечание: r(A) ≤ r(B).
Доказательство:
(необходимость)
Дано: Система совместна.
Доказать: r(A)=r(B)
Так как система совместна, то существует совокупность значений неизвестных , которые при подстановке обращает каждое уравнение в тождество.
; (*)
Рассмотрим расширенную матрицу В
Первый столбец умножим на (-с1), второй – на (-с2), и так далее – n-столбец умножим на (-сn) и сложим с последним столбцом. При этом ранг матрицы не изменится.
(в силу соотношения (*))
Имеем, что r(B)=r(B1), r(B1)=r(А), следовательно, r(B)=r(А).
(достаточность)
Дано: r(A)=r(B)=r
Доказать, что система совместна.
Согласно r(A)=r(B)=r, наивысший порядок отличного от нуля минора равен r. Для определенности предположим, что этот минор расположен в левом верхнем углу матрицы А. Тогда систему можно переписать в следующем виде:
Тогда последние (m-r) (т.к. ранг матрицы равен r) уравнений являются следствием первых r уравнений, их можно опустить. Тогда система перепишется в виде:
Возможны 2 случая:
-
r=n (ранг матрицы равен числу неизвестных), тогда система примет вид:
Определителем этой системы является минор r-того порядка, который по условию не равен нулю, так как r(A)=r(B)=r
Следовательно, по т. Крамера эта система совместна и имеет единственное решение.
2. r <n, т.е ранг матрицы меньше числа неизвестных, тогда система имеет вид:
;
;
Назовем x1, x2…xr- базисными переменными,
xr+1, xr+2…xn- свободными переменными.
Присваивая свободным переменным произвольные значения(xr+1=c1, xr+2=c2,…,xn=cn-r), мы получаем систему, в которой определитель Mr0 (по условию) система совместна, но имеет множество решений.
Вывод: при исследовании произвольной системы линейных уравнений, имеем следующие случаи:
1. r (A) r(B) – СЛУ решений не имеет.
2. r (A) =r (B)=n – СЛУ имеет 1 (единственное) решение.
3. r (A) = r (B) < n – СЛУ имеет множество решений.
Лекция 4
Векторная алгебра.
Опр.: Векторной величиной называется всякая величина, обладающая направлением.
Скалярной величиной называется всякая величина, не обладающая направлением.
Например, сила, действующая на материальную точку, есть векторная величина. Скорость материальной точки – векторная величина. Температура тела – скалярная величина, так как с этой величиной не связано никакое направление. Масса и плотность тела – тоже скалярные величины.
Опр.: Вектор - направленный отрезок.
АВ, А - начало вектора.
В - конец вектора.
Длина вектора – его модуль, обозначается или . Начало вектора называется точкой приложения. Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают, его направление не определено.
Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.
Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и длины, называются равными.
Два вектора, имеющие равные модули, и противоположные по направлению, называются противоположными.
Действия над векторами.
Опр. Суммой векторов a и b называется вектор с, полученный следующим образом:
OM=OL+LM, c=a+b, т.е. с равен сумме векторов a и b – правило треугольника.
Свойства:
1. +(-)=0
2. +=+ - свойство переместительности.
Правило параллелограмма:
Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму векторов a и b можно найти следующим способом: из любой точки строим векторы a=ОА и b=OB и достраиваем до параллелограмма OACB. Вектор с=ОС и есть сумма a и b.
Вычитание векторов:
Вычесть вектор a1 (вычитаемое) из вектора a2 (уменьшаемое) значит найти новый вектор x (разность), который в сумме с вектором a1 даст вектор a2.
Умножение вектора на число.
Произведение на скаляр ≠0=, называется ,направлен в ту же сторону,
что и вектор , если и направленный в противоположную сторону, если и имеющий длину .
Свойства умножения вектора на число:
1. , є R.
2. , є R.
3.
Проекция вектора на ось n.
В пространстве заданы вектор и ось n. Пусть А1 - проекция точки А на ось n, В1 – проекция точки В на ось n.
В
А
n
А1 В1
Алгебраической проекцией на ось n называется величина направленного отрезка (моуль) А1В1, взятого со знаком «+», если направления совпадают, и со знаком «-», если не совпадают. Проекция на n обозначается пр.n.
Очевидно, что если угол - острый, т.е. направление вектора А1В1 совпадает с направлением оси n, то пр.n=, а если - тупой, т.е. направление А1В1 противоположно n, то пр.n=-.
Th: (о проекциях).
Th1: пр=cos
1. - острый угол.
В
А С
n
А1 В1
прn=cos
2. - тупой угол.
В
А
С
n
В1 А1
3. =, , но, с другой стороны,
, следовательно,
Th2:
(1) , (т.е. направлены в одну сторону), то
(2) , то есть и направлены в противоположные стороны.
Th3:
+
M1 M2 M3
, но по чертежу , следовательно,
Линейные операции над векторами в координатной форме.
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Радиус-вектором т. М называется вектор , точка приложения которого совпадает с началом координат.
Z
M
z
x o y Y
X
- радиус-вектор т. М.
Координаты вектора называются проекции вектора на координатные оси и обозначаются
Обозначим через углы, образуемые вектором с координатными осями. Косинусы этих углов называются направляющим косинусами вектора, т.е. - направляющие косинусы вектора , тогда
, тогда
( - квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда).
Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам: