- •Определители n-го порядка.
- •Обратная матрица.
- •Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •Произвольная система линейных уравнений.
- •Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •Линейное пространство
- •Размерность и базис линейного пространства
- •Скалярное произведение векторов
- •Скалярное произведение в координатной форме
- •Векторное произведение векторов.
- •Векторное произведение в координатной форме
- •Смешанное произведение векторов.
- •Аналитическая геометрия Простейшие задачи аналитической геометрии
- •Полярная система координат
- •Формулы преобразования системы координат
- •1. Параллельный перенос
- •Поворот осей координат
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя прямыми в пространстве
- •Асимптоты гиперболы
- •Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола
- •Общие свойства кривых второго порядка
- •Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду
Нормальное уравнение прямой
Дано: плоскость Р,, p – расстояние от 0 до P, n – единичный вектор
Возьмем точку
- радиус вектор
- нормальное уравнение плоскости в векторной форме
Запишем в координатной форме:
,
- нормальное уравнение плоскости в координатной форме;
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:
Умножим первое уравнение на μ (нормирующий множитель) так, чтобы уравнение стало нормальным, то есть
Возведем обе части 3-х предыдущих равенств в квадрат и сложим, получим
- формула для вычисления нормирующего множителя
, так как μ и D имеют противоположные знаки, следовательно множитель μ противоположен знаку D.
Лекция 7
Расстояние от точки до плоскости
Дано: плоскость Р задана нормальным уравнением в векторной форме , Требуется найти расстояние от точки до плоскости;
Возможны 2 случая:
-
т. М0 и начало координат лежат по разные стороны от плоскости
-
т. М0 и начало координат лежат по одну сторону от плоскости
Рассмотрим 1 случай.
соединим и 0 - радиус вектор точки М0
Опустим из точки перпендикуляр на P, обозначим точкой K(x,y,z)
- расстояние от точки до плоскости. Соединим точку О с точкой K, получим - радиус-вектор точки К.
Из треугольника ОМ0К видно, что
с одной стороны, а с другой стороны
, а так как точка К принадлежит P, значит, координаты ее радиус вектора координаты удовлетворяют уравнению в векторной форме; подставляем и получаем по свойству скалярного произведения , отсюда - расстояние от точки до плоскости;
Во втором случае - общий случай
Найдем расстояние от точки до плоскости в координатной форме:
- расстояние от точки до прямой в координатной форме.
- отклонение точки от прямой
Если Δ>0, то и 0 лежат по разные стороны от плоскости;
Если Δ<0, то по одну сторону от плоскости;
Вывод.: чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно уравнение привести к нормальному виду и подставить вместо х и у координаты заданной точки.
Прямая в пространстве
Каноническое и параметрическое уравнения прямых в пространстве
Дано: прямая l, т. - направляющий вектор прямой l,
Возьмем произвольную т. M на прямой и рассмотрим - каноническое уравнение прямой.
, t – параметр,
- параметрическое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
Дано: и
Используем каноническое уравнение прямой:;
В качестве направляющего вектора прямой используем вектор , так как он лежит на прямой.
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Общее уравнение прямой
Даны две пересекающиеся плоскости, заданные общим уравнением:
(*)
Так как они пересекаются, их нормальные векторы не коллинеарны. Линия пересечения – прямая, следовательно, система двух уравнений (*) называется общим уравнением прямой в пространстве.
Приведение общего уравнения к каноническому виду
- канонический вид;
- направляющий вектор
- нормальный вектор плоскости Р1
- нормальный вектор плоскости Р2
В качестве направляющего вектора прямой возьмем ;
В качестве точки используем частное решение системы (*), так как система имеет бесконечное множество решений (ранг меньше количества неизвестных).
- канонический вид уравнения
Уравнение пучка плоскостей
Совокупность плоскостей, проходящих через одну и туже прямую, называется пучком плоскостей.
Даны две пересекающиеся плоскости:
Пересечение – прямая l;
Умножим второе уравнение на и сложим с первым уравнением;
(*)
Покажем, что это уравнение определяет плоскость; для этого возьмем т. , принадлежащую линии пересечения двух плоскостей и покажем что (*) проходит через прямую ;
(см. (**)), следовательно, - уравнение пучка плоскостей в пространстве.
Совокупность прямых в пространстве, проходящих через одну точку, называется связкой.