Скалярное произведение векторов

Опр.: Скалярным произведением векторов и называется произведение длин векторов на cos угла между ними и обозначается , т.е.

Свойства:

1. 

90

3. 

4.

5. или , или , так как

Вывод: равенство нулю скалярного произведения есть условие перпендикулярности векторов.

Скалярное произведение в координатной форме

Рассмотрим в пространстве декартовую систему координат и вектора - единичные, образуют базис

И так как , то

Векторное произведение векторов.

Опр.: Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке и приложенных к одной точке, называются тройкой векторов .

Будем смотреть с конца вектора на плоскость, определяемую векторами и , и если кратчайший поворот от к совершается против часовой стрелки, то тройка векторов a,b,c – правая , а если указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка - левая.

Если даны три некомпланарных вектора то они образуют шесть траекторий:

-правые -левые

Опр.: Векторным произведением векторов а и b называется третий вектор с, который удовлетворяет следующим условиям:

1. 

2. 

3. -правая. Обозначается -

Из условия 2 следует, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Пусть вектора и коллинеарны, то есть или , тогда

, таким образом, равенство нулю векторного произведения есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Свойства:

1. - из определения;

2.

1.

, надо доказать, что эти векторы имеют одинаковые направления и длины.

2.

, надо доказать, что эти векторы имеют одинаковые направления и длины.

3.

Без док-ва

Векторное произведение в координатной форме

Следовательно,

Вывод:

Пр.: Найти площадь треугольника.

Дано:

a(-1,2,3);

b(2,1,-2);

c(1,0,-1);

Лекция 6

Смешанное произведение векторов.

Дано три вектора -их можно перемножить:

1. и - скалярно, получаем число, умножаем на вектор, получаем вектор.

2. и - векторно, получаем вектор. Умножаем на вектор, получаем двойное векторное произведение.

3. и - векторно, получаем вектор, затем скалярно на смешанное произведение векторов.

Th.: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах и взятого со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если левая.

Рассмотрим смешанное произведение . Обозначим , тогда , но - площадь параллелограмма, построенного на векторах а и в, а - высота параллелепипеда, тогда .

Следствие: если смешанное произведение векторов равно нулю, то эти векторы – компланарны. Таким образом, равенство нулю смешанного произведения есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Смешанное произведение в координатной форме

Свойства:

1. 

В силу данного свойства смешанное произведение можно обозначить .

2. При круговой перестановки смешанное произведение векторов не меняется. При прочих – меняется на противоположный.

3.