Угол между двумя прямыми в пространстве

Даны 2 прямые в пространстве, заданные каноническими уравнениями прямых в пространстве, следовательно, известны их направляющие векторы;

За угол между двумя прямыми в пространстве принимается угол между их направляющими векторами:

Условие параллельности: так как прямые параллельны, их направляющие векторы коллинеарны, следовательно, - условие параллельности прямых;

Условие перпендикулярности: если прямые перпендикулярны, то их направляющие векторы тоже перпендикулярны, следовательно, - условие перпендикулярности прямых в пространстве

Угол между прямой и плоскостью

Дано: плоскость P, под

- направляющий вектор прямой;

– угол между и

Условие параллельности прямой и плоскости: , т.е.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: , т.е.

Угол между двумя плоскостями

Дано: Р₁ и Р₂ – две плоскости;

- нормальный вектор плоскости Р₁

- нормальный вектор плоскости Р₂

Две плоскости, пересекаясь, образуют 4 двухгранных угла, равных попарно. Один из них равен углу между нормальными векторами. Обозначая один из этих углов через , имеем:

Выбирая знак «+», получаем , выбирая знак « - «, получаем

Условие параллельности 2-х плоскостей

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны:

, следовательно, их координаты пропорциональны:

Условие перпендикулярности 2-х плоскостей

Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы перпендикулярны:

, следовательно,

Кривые второго порядка

Алгебраические уравнения второй степени относительно декартовой системы координат вида Ах²+2Вху+Су²+Dх+Еу+F=0 представляют собой кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Эллипс

Опр.: Эллипс - геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до 2 данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная и равна 2а.

y

y M(x,y)

r₂ r₁

F₂(-c,0) 0 x F₁(c,0) x

Исследование формы эллипса

т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно осей координат.

.

A₁,A₂,B₁,B₂ – вершины эллипса;

A₁A₂=2a – большая ось эллипса, a - большая полуось;

В₁В₂=2b – малая ось, b – малая полуось;

- фокусное расстояние.

Эксцентриситет эллипса и его влияние на форму

Опр.: Эксцентриситет- отношение фокусного расстояния к большой оси .

=

Директриса эллипса и фокальный радиус

Директриса эллипса – это прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и отстающие от центра на расстояние

т.к. <1, то , расстояние между директрисами ;

уравнение директрис

-а а

Гипербола

Опр.: Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до 2 данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2a.

у

М(х,у)

r₂ r₁

F₂(-c,0) F₁(c,0) х

Исследование формы гиперболы

Т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно координатных осей.

A₁, A₂ – вершины гиперболы

2а – действительная ось гиперболы

а – действительная полуось

2b – мнимая ось гиперболы

b – мнимая полуось