- •1.Основные определения и свойства метрических пространств.
- •3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрическом пространстве и их свойства.
- •4. Пространство и теорема о его полноте
- •5.Непрерывные отображения.
- •7. Принцип неподвижной точки.
- •10. Кольца и полукольца множеств.
- •13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )
- •18.Внешняя мера и ее св-ва
- •27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
- •28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
- •29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
- •30.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
- •36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
- •43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- •44. Тензорное произведение мер
4. Пространство и теорема о его полноте
- пространство всех непрерывных функций на отрезке . - Чебышевская метрика.
Докажем, что функция действительно является метрикой:
1) , то есть :
2)
3) : , ,
Теорема (о полноте). Пространство полное.
Док-во. Пусть-фундаментальная последовательность в пространстве С[a,b], т.е. .
Это зн., что посл-ть яв-ся фундаментальной существует, в силу полноты, . Т.к. это верно для любого t, то м. построить ф-цию ф-ция сходится поточечно. Получаем Т.о., , функция x(t) непрерывна на , а т.к. сходимость равномерная, то в
С[a,b] С[a,b] – полное пр-во.
5.Непрерывные отображения.
Рассмотрим два метрические пространства X и Y с метрикой ρx и ρy .Отображение F:X→Y(т.е. каждому x X сопоставляем единственный yY, xX→ y Y, y=F(x)=Fx.
Опр.: Отображение F называется непрерывным в точке aX, если ε>0, δ>0 такое ,что если ρx(x,a)< δ , то ρy(F(x),F(a))< ε.
Отображение является непрерывным , если оно непрерывно в каждой точке. Тогда предыдущее определение можно записать следующим образом:
Теорема (Об эквивалентном условии непрерывности):
Для того чтобы отображение F было бы непрерывным в точке aX необходимо и достаточно , чтобы для любой последовательности .
Доказательство:
1) Необходимость. Пусть отображение F непрерывно в точке
a , т.е. ε>0, δ>0 ,что FU(a, δ) V(Fa, ε) (1).
Возьмём произвольную посл-сть , которая стремится к a , .
. Т.е. δ>0 n0 ,что n≥ n0 ρ(xn,a)< δ (2).
А это значит ,что xn U(a, δ). Из соотношений (1) и (2) получим , что F(xn)V(F(a), ε).А это означает , что расстояние ρy(F(x),F(a))< ε.
Т.о. ε>0 n0 , что n≥ n0 выполняется ρy(F(xn),F(a))< ε. А это означает ,что F(xn) сходится к F(a) , .
2) Достаточность. Пусть выполняется условие (*). Докажем, что отображение F непрерывно.
Будем предполагать , что условие (*) выполняется , но F непрерывно в точке a .Это значит ,что ε>0, δ>0, ρx(x,a)< δ, но ρy(F(x),F(a))≥ ε.
Возьмём δ=1/n , тогда существует xn ,что хотя ρx(x,a)<1/n= δ, но ρy(F(x),F(a))≥ ε. Следовательно из условия ρx(xn,a)<1/n .А из условия ρy(F(x),F(a))≥ ε следует , что не стремится к при .Что противоречиво условию(*).
Получено противоречие показывает , что наше допущение не верно. Значит отображение F непрерывно в точке a .
Если отображение F непрерывно в каждой точке aMX , то говорят , что отображение F непрерывно на множестве M .
Отображение F непрерывное на всём пространстве Х называется непрерывным отображением .
Множество всех непрерывных отображений из X в Y обозначим C(X,Y).
Теорема: (О непрерывности композиции).
Пусть F непрерывное отображение F:X→Y , а G: Y→Z , где X,Y,Z –метрические пространства. Тогда композиция отображений G°F(которая определяется следующим образом (G°F)(x)=G(Fx) xX) является непрерывным отображением G°F:X→Z.
(Кратко: композиция непрерывных отображений является непрерывным отображением).
Доказательство:
Возьмём произвольное aX и пусть , тогда применяя теорему об эквивалентных условиях непрерывности мы получим .И еще раз её применяя, получим ,что . Т.е. это означает , что (G°F)(xn)= (G°F)a (3)
Ещё раз применяя предыдущую теорему получаем , что G°F непрерывно в a ,т.е. G°F непрерывна.
Теорема доказана.
6. Сжимающие отображения.
Будем рассматривать отображение F: XУ с метрикой .
Определение: отображение F: XУ с метрикой называется сжимающим отображением (отображением сжатия), если существует число 0<α<1, что расстояние между образами
у(Fx1 ,Fх2) αх(x1,х2), х1,х2 Х, 0<q<1
Свойство:
-Любое сжимающее отображение непрерывно.
Доказательство.
Для этого выберем аХ и, полагая у=а, получаем соотношение у(Fx ,Fа) α(x1,х2).
Пусть хU(а,), т.е. (x,а)<, тогда из соотношения (1) получаем (Fx ,Fa) α=.
Из соотношения α= >0
Таким образом, >0 : (x,a)< (Fx ,Fa)<
А это значит, что отображение F непрерывно в точке а. Т.к. точка а была выбрана произвольно из Х, то отображение F непрерывно на всем пространстве.
Таким образом, любое сжимающее отображение непрерывно