- •1.Основные определения и свойства метрических пространств.
- •3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрическом пространстве и их свойства.
- •4. Пространство и теорема о его полноте
- •5.Непрерывные отображения.
- •7. Принцип неподвижной точки.
- •10. Кольца и полукольца множеств.
- •13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )
- •18.Внешняя мера и ее св-ва
- •27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
- •28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
- •29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
- •30.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
- •36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
- •43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- •44. Тензорное произведение мер
27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
Ф-ция f:XR-ф-ция заданная на Х.
Ф-ция f, заданная на Х, наз-ся ступенчатой ф-цией, если она принимает не более чем счетное число значений причем прообраз явл-ся измеримым мн-вом для любого n.
Пример. Рассмотрим функцию Дирихле
измеримо
также измеримо.
Теорема . Обратная функция Дирихле ступенчатая.
Пусть
Примером ступ-той функции являются характеристические функции .
Совокупность всех ступ-тых функций будем обозначать .
Свойства ступенчатых функций.
-
Произведение любого числа на ступенчатую функцию есть ступенчатая функция, т.е.
-
Сумма двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е. .
Доказательство этого очевидно, т.к. если , где и - измеримые множества.
.
.
3. St-векторное пр-во, т.к. выдерживает векторные операции 1.и2.
4. Произведение ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е.
Доказательство аналогично доказательству свойства 2.
.
Отметим, что функция, равная тождественно константе, является ступенчатой.
Из свойств 1 – 4 получаем, что совокупность всех ступенчатых функций является алгеброй над полем .
5. St – алгебра. Она содержит единицу, т.е. 1(х)=1 , xX 1 St, g.f = f.g, т.е. имеет место коммутативность, St – коммутативная алгебра с единицей.(но St не явл. полем)
28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
Определение. Ступенчатая функция называется интегрируемой, если ряд , т.е. сходится.
Это означает абсолютную сходимость ряда .
Если ступенчатая функция интегрируема, то модуль ее интегрируем.
- множество интегрируемых ступенчатых функций.
Свойства интегрируемых ступенчатых функций.
1. Произведение любого числа на интегрируемую ступенчатую функцию есть интегрируемая ступенчатая функция, т.е. .
2. Сумма двух интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е. .
Действительно,
3. Линейная комбинация интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е.
.
Это свойство значит, что совокупность всех интегрируемых ступенчатых функций образует векторное (линейное) пространство над полем .
29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
Определение. Интегралом от интегрируемой ступенчатой функции называется число, которое обозначается и определяется .
Свойства интеграла.
1.
2.
3.
Интеграл является линейным функционалом.
4.