- •1.Основные определения и свойства метрических пространств.
- •3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрическом пространстве и их свойства.
- •4. Пространство и теорема о его полноте
- •5.Непрерывные отображения.
- •7. Принцип неподвижной точки.
- •10. Кольца и полукольца множеств.
- •13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )
- •18.Внешняя мера и ее св-ва
- •27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
- •28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
- •29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
- •30.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
- •36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
- •43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- •44. Тензорное произведение мер
7. Принцип неподвижной точки.
Опр.: если имеем отображение F: XX, то точка аХ называется неподвижной точкой отображения, если Fa=а.
Теорема (принцип неподвижной точки)
Пусть F – сжимающее отображение полного метрического пространства Х, тогда существует единственная неподвижная точка у отображения F.
Доказательство:
Возьмем произвольную точку х0 Х и построим точку
х1= F х0,
х2 = (FF)х0 = F2 х0,
х3 = F х2 =( FF2)х0 = F3 х0,
…………………………….
xn = F хn-1 =( FF n-1)х0 = Fn х0
…………………………….
Получили последовательность
Докажем, что эта последовательность фундаментальна.
Возьмем 2 натуральных числа n,m, будем считать, что m n, тогда запишем m=р+n, р. Рассмотрим расстояние (xn,xm) =(Fxn-1,Fxm-1)q(xn-1,xm-1) =0<q<1=q(Fxn-2,Fxm-2) q2(xn-2,xm-2) qn(x0,xm-n)= qn(x0,x-p)
Так. обр., доказали нер-тво (xn,xm) qn(x0,x-p) (3)
Рассмотрим (x0,x-p) и применим неравенство треугольника:
Таким образом доказали неравенство:
(4)
Из (3) и (4) получаем (5)
Рассмотрим правую часть (5). Так как q<1, то , следовательно, вся правая часть .
Это значит, что (6)
Т.к. m>n , то соотношение (6) верно и для .
Таким образом получаем:
.
А эта формула означает, что посл-ть явл. фунд-ной посл-стью в метрическом пространстве Х. В силу условия теоремы о том, что метрическое пространство полное, получаем, что последовательность явл. сходящейся последовательностью, т.е. существует такой элемент .
Рассмотрим рав-во , которое верно для (7)
Т.к. отображение F по условию теоремы сжимающее, то оно непрерывно и, следовательно, получаем
Переходя в общих частях равенства (6) к пределу при , получаем в пределе х*=Fx*, т.е. x*- неподвижная точка отображения F.
8.
9.
10. Кольца и полукольца множеств.
Определение : совокупность подмножеств множества X называется кольцом если:
1)
2)
Кольцо обладает следующими свойствами:
т.к.
Кольца содержащие X называются алгеброй .
Множества A и B непересекающиеся если . Система множеств -- является непересекающейся если элементы попарно не пересекаются т.е. для таких что . Будем обозначать пересечение непересекающихся мн-тв A и B.
Пусть X – множество , A ,B , C и -- подмножества множества X. Совокупность всех подмножеств . А также на X введены операции :
Объединение
Пересечение
Разность A\B
Симметрическая разность
Опр: Система подмножеств S множества X называется полукольцом если:
1)
2) ,
11. Примеры полуколец и колец.
Примеры:
-
Пусть и . Пересечение полуинтервалов – полуинтервал . Множество полуинтервалов образуют полукольцо.
-
Пусть и
12.