- •1.Основные определения и свойства метрических пространств.
- •3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрическом пространстве и их свойства.
- •4. Пространство и теорема о его полноте
- •5.Непрерывные отображения.
- •7. Принцип неподвижной точки.
- •10. Кольца и полукольца множеств.
- •13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )
- •18.Внешняя мера и ее св-ва
- •27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
- •28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
- •29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
- •30.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
- •36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
- •43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- •44. Тензорное произведение мер
35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
Определение. Функция называется интегрируемой (по Лебегу), если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций, которые равномерно сходятся к функции : на .
Совокупность всех интегрируемых функций обозначается .
Свойства интегрируемых функций.
1., :
.
2.
, на .
3. , то есть .
4.
36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
Определение. Интегралом Лебега от интегрируемой функции называется число, обозначаемое
(1)
где - последовательность ступенчатых интегрируемых функций, равномерно сходящихся к функции .
Для доказательства корректности определения интеграла нужно доказать, что существует предел
Обозначим . Необходимо доказать, что - фундаментальная последовательность.
(2)
. Тогда из (2) получим , . Таким образом, .
Это означает, что если последовательность фундаментальная.
Так как полно, то последовательность сходится, следовательно, существует и он конечен, значит определение корректно.
37. Св-ва интеграла лебега
Свойства интеграла Лебега.
1. .
Д-во:
2. .
Д-во. Берем . Для них верно
а значит 2 док-но.
3. Линейность.
.
4. .
5. Если f g , т.е. они равны друг другу почти всюду, и существует , то также существует, причем
,
Если f g , т.е. существует . Тогда
, т.к. интеграл по множеству меры 0 равен 0.
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет :
-
f f(рефлексивность);
-
f g gf (симметричность)
-
f g ,gh fh (транзитивность)
Проверим выполнение условие 3).
f g , это значит,
gh , это означает,
т.е.
Отметим, что измеримо,т.к. сумма двух измеримых мн-в образует алгебру.
Поэтому в силу f(x)=g(x) и g(x)=h(x) следует f(x)=h(x).
Совокупность пространств по эквивалентности называется фактор-пространством . Будем называть пр-вом интегрируемых ф-ций на мн-ве Х.
38.
39.
40.
41.
42.