5.2 Теория подобия. Числа подобия

Константы подобия имеют одинаковое значение для конечных и бесконечно малых величин какого-либо параметра. Т.е. константа подобия определяет связь не только между сходственными параметрами, но и между конечными и бесконечно малыми приращениями этих параметров.

Правило выбора констант подобия можно рассмотреть на конкретном примере дифференциального уравнения теплообмена (уравнение 4.7). Это уравнение для сходственных точек двух подобных между собой систем запишется:

Для первой системы , (5.1)

Для второй системы . (5.2)

Обозначим константы подобия величин, входящих в эти уравнения:

(5.3)

l – характерный линейный размер системы.

Из определения констант подобия следует:

. (5.4)

Подставив полученные выражения в уравнение (5.2) и сократив на С_t, получим:

. (5.5)

Уравнения (5.1) и (5.5) тождественны, т.к. они выражают связь между параметрами процесса, обусловленную дифференциальным уравнением теплообмена для одной и той же точки системы.

Т.к. эти уравнения тождественны, то:

(5.6)

Это и есть связь между константами подобия, полученная из дифференциального уравнения теплообмена.

Выбор комплекса констант подобия ограничен условием: любая их комбинация должна быть равна 1.

Величину С называют индикатором подобия.

Заменив значения констант подобия в уравнении (5.6) из уравнения (5.3), получаем:

. (5.7)

Существуют такие безразмерные соотношения параметров, характеризующих процесс, которые у подобных явлений в сходственных точках имеют численно одинаковые значения. Такие безразмерные соотношения называют числами подобия.

Полученное из дифференциального уравнения теплообмена число подобия называют числом Нуссельта:

. (5.8)

Число Nu называют безразмерным коэффициентом теплоотдачи.

Кроме того, в теории подобия вводится понятие симплекс – отношение двух каких-либо однородных величин (например: (ρ – ρ₀)/ρ₀).

Однородными являются величины, имеющие одинаковое физическое содержание и размерность.

Произведения чисел подобия и частное от их деления также являются числами подобия.

Для характеристики подобия явлений применяют константы подобия и числа подобия.

Константы подобия сохраняют числовое значение только для двух подобных явлений, но они остаются одинаковыми для всех сходственных точек рассматриваемых систем.

Числа подобия сохраняют свое числовое значение в сходственных точках всех подобных между собой систем, но в различных точках одной и той же системы они могут иметь разные числовые значения.

Безразмерные числа подобия представляют собой новые переменные, введение которых значительно уменьшает число величин под знаком функции.

Теория подобия и теория размерностей позволяют получить искомые связи между физическими величинами для исследуемых явлений в виде зависимостей между безразмерными комплексами, составленными из этих величин. Решение, полученное по этим зависимостям, будет таким же надежным, как и решение, полученное чисто аналитическим путем.

При практическом применении теории подобия в случае конвективного теплообмена – из системы дифференциальных уравнений и условий однозначности приведенным выше способом получен ряд безразмерных комплексов – чисел подобия. Поскольку каждое число подобия составлено из физических величин, имеющих физический смысл, то и сами числа подобия имеют физический смысл.

Числа, применяемые для изучения гидромеханического подобия.

Ho – число подобия гидромеханической гомохронности, характеризующее скорость изменения поля скоростей движущейся жидкости во времени.

Fr – число Фруда, определяющее отношение сил инерции к силам тяжести.

Eu – число Эйлера, характеризующее соотношение между силами давления и силами инерции.

Re – число Рейнольдса, представляющее собой отношение сил инерции к силам вязкости и определяющее характер течения жидкости.

При изучении теплового подобия двух или нескольких систем применяют числа: Nu, Fo, Pe.

(а=λ/сρ, υ – избыточная температура).

Число Nu – характеризует конвективный теплообмен между жидкостью и поверхностью твердого тела.

Fo – число Фурье, критерий тепловой гомохронности, характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими параметрами и размерами тела.

Pe – число Пекле, число подобия конвективного теплообмена; числитель числа подобия характеризует теплоту, переносимую конвекцией, а знаменатель теплоту, переносимую теплопроводностью.

Число Прандтля - определяет физические свойства жидкости.

При изучении теплообмена в свободном потоке жидкости также учитывается число Фруда, но в нем необходимо исключить величину скорости, т.к. она является функцией процесса, а измерить ее очень трудно.

Для этого вводится число Галилея:

.

Ga – число Галилея, характеризующее соотношение сил тяжести и силы молекулярного трения.

Умножая число Ga на симплекс (ρ – ρ₀)/ρ₀, в котором ρ и ρ₀ – плотности жидкости в двух точках, получаем:

.

Ar – число Архимеда, определяющее условия свободного движения среды.

Для случая, когда изменение плотности жидкости получается вследствие различия температур в различных ее точках симплекс (ρ – ρ₀)/ρ₀ можно заменить на β·Δt, где β – коэффициент объемного расширения среды (для газа β = 1/Т). В этом случае получаем новое число подобия:

.

Gr – число Грасгофа, характеризующее соотношение подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей жидкости и силы молекулярного трения.

Числа Fr, Ga, Ar, Gr тождественны – по сути это 4 различных вида одного и того же числа.