5.3 Теория подобия. Теоремы подобия

В основу теории подобия физических явлений положены три теоремы. Две первых говорят о физических явлениях, подобие которых заранее известно, и формулируют основные свойства подобных между собой явлений.

Третья теорема подобия – обратная. Она устанавливает признаки, по которым можно узнать, подобны ли два явления друг другу.

Первая теорема подобия для подобного течения двух жидкостей доказана на основе второго закона Ньютона. Рассмотрим случай подобного движения двух механических систем:

(5.9)

(5.10)

Если явления подобны, то:

f″ = C_f · f′; m″ = C_m·m′; w″ = C_w·w′; τ″ = C_τ·τ′. (5.11)

Подставив эти значения в уравнение (5.10), получим:

, (5.12)

Уравнения (5.9) и (5.12) – тождественны, следовательно:

(5.13)

Уравнение (5.13) представляет собой математическое выражение первой теоремы подобия: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Если в уравнение (5.13) подставить значение этих величин (констант подобия) из уравнения (5.11), то получим число подобия Ньютона:

(5.14)

Первая теорема может быть сформулирована и так: у подобных явлений числа подобия численно одинаковы.

Первая теорема устанавливает связь между константами подобия и позволяет вывести уравнения для чисел подобия.

Следствием первой теоремы можно назвать, что при выполнении опытов необходимо и достаточно измерять лишь те величины, которые входят в числа подобия изучаемого явления.

Необходимой предпосылкой для вывода чисел подобия является наличие аналитической зависимости между физическими величинами, характеризующими данное явление. Особую ценность приобретает возможность получения чисел подобия из дифференциальных уравнений, когда они не интегрируемы.

Вторая теорема подобия утверждает: если физическое явление описывается системой дифференциальных уравнений, то всегда существует возможность представления их в виде уравнения подобия.

Т.е. вторая теорема утверждает, что операция интегрирования не изменяет вида чисел подобия.

Из второй теоремы также следует, что если результаты эксперимента обработать в числах подобия, то зависимость между ними необходимо выражать в числах подобия.

Уравнением подобия называют такое уравнение, которое любую зависимость между величинами, характеризующими данное явление, представляет зависимостью между числами подобия.

Третья теорема подобия устанавливает необходимые условия для того, чтобы явления оказались подобными друг другу.

Третья теорема исходит из того, что:

явления протекают в геометрически подобных системах (геометрическое подобие систем есть первое необходимое условие для существования подобия);

для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения;

установлено существование и единственность решения уравнения (или системы уравнений) при заданных граничных условиях;

известны численные значения коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения.

Совокупность этих перечисленных условий называется условиями однозначности этого явления.

Подобие условий однозначности есть второе необходимое условие подобия.

Дополнительным условием подобия есть равенство чисел подобия, составленных из одних только величин, входящих в условия однозначности.

Числа подобия, составленные из одних только величин, входящих в условия однозначности, называются определяющими.

Числа подобия, в которые входят искомые величины, называются определяемыми.

Таким образом, третья теорема подобия формулируется: подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условий однозначности, численно одинаковы.

Если условия однозначности подобны и определяющие числа подобия численно равны, то это влечет за собой равенство всех остальных определяемых чисел подобия.

Следствие третьей теоремы подобия: каждое из определяемых чисел подобия есть однозначная функция совокупности определяющих чисел подобия.