12.19. Уравнение Бернулли

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли

с начальным условием (82’)

Алгоритм решения.

1. С помощью подстановки

уравнение приводится к линейному

где и .

2. Решаем линейное уравнение (83) и делаем замену .

3. Используя начальное условие (82’), находим решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде .

Замечание 14. При решении уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а искать решение в виде или применять метод вариации произвольной постоянной.

Пример 25. Найти решение задачи Коши

с начальным условием .

Решение.

Преобразовав уравнение к виду

убеждаемся, что это уравнение Бернулли с .

1. С помощью подстановки

уравнение (84) приводится к линейному

2. Решаем уравнение (85) методом вариации произвольной постоянной:

а) решаем однородное уравнение

получаем ;

б) ищем решение неоднородного уравнения в виде

в) подставляя в уравнение (85)

получаем уравнение с разделяющимися переменными

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

Таким образом, общее решение уравнения (85) имеет вид

или, после замены ,

3.Используя начальное условие :

получаем .

Ответ.

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

1. Ответ:

2. Ответ:

12.20. Уравнения в полных дифференциалах

Постановка задачи. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

Алгоритм решения.

1. Если в некоторой области имеют непрерывные частные производные и выполнено условие

то - дифференциал некоторой функции . Тогда уравнение (86) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде

где - дважды непрерывно дифференцируемая неизвестная функция.

Из (86’) следует, что интегральные кривые определяются уравнением при всех возможных С.

Для отыскания С заметим, что

2. Интегрируя первое равенство в (87) по х, получим

где - неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3. Дифференцируя по у, имеем

Используя второе равенство в (87), получим уравнение

4. Находим и затем .

Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением при всевозможных значениях С.

Пример 26. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

Решение.

1. Преобразуем уравнение (88):

В данном случае

Эти функции непрерывно дифференцируемы в области .

Кроме того,

Поэтому - дифференциал некоторой функции в любой односвязной области , не содержащей точку . Следовательно, уравнение (88) является уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде

При этом

2. Интегрируя первое равенство в (89) по х, получим, что при

где - неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3. Дифференцируя по у, имеем

Используя второе равенство в (87), получим

После преобразования имеем

4. Отсюда

и, следовательно

Ответ. Интегральные кривые в области или в области определяются уравнением

при всевозможных значениях С.

Условия задач. Найти интегральные кривые дифференциальных уравнений.

1. Ответ:

2. Ответ: