- •Глава 12. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •12.1 Основные понятия и определения
- •12.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •12.3 Однородные и квазиоднородные уравнения
- •12.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •12.5 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •12.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной
- •12.7. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •12.7.1 Основные понятия. Теорема Коши.
- •12.7.2. Уравнения, допускающие понижения порядка.
- •12.8. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •12.9. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •12.11. Метод неопределенных коэффициентов для определения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.12. Уравнение Эйлера. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (основные понятия)
- •12.13. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
- •12.14. Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •12.15. Понятие решения
- •12.16. Уравнения с разделяющимися коэффициентами
- •12.17. Однородные уравнения
- •12.18. Линейные уравнения первого порядка
- •12.19. Уравнение Бернулли
- •12.20. Уравнения в полных дифференциалах
- •12.21. Уравнения вида
- •12.22. Уравнения вида
- •12.23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.24. Принцип суперпозиции
- •12.25. Метод Лагранжа
- •Вопросы, упражнения и задачи к главе «Дифференциальные уравнения»
- •Тест для самоконтроля к главе «Дифференциальные уравнения»
12.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если в дифференциальное уравнение первого порядка производная входит в первой степени, то после решения его относительно получаем уравнение вида .
Так как , то уравнение может быть переписано так . В частном случае, когда каждая из функций и является произведением двух функций, одна из которых – функция только х, а вторая только у, т.е. (3). Уравнение (3) называют уравнением с разделяющими переменными. Разделение переменных производится делением обеих частей (3) на произведение, в котором - функция только от у, являющаяся множителем при dx, а - функция только от х, являющаяся множителем при dy.
После деления на это произведение уравнение (3) примет вид (4), а его общий интеграл запишется так (5).
Особые решения с разделяющимися переменными.
Уравнение (5) может быть переписано так
Поэтому, кроме найденного ранее общего интеграла (5) уравнения (3) ему могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения .
Если эти решения не входят в общий интеграл, то они и будут особыми решениями уравнения (3).
Особое решение. Решение дифференциального уравнения, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной, включая ± называется его особым решением.
При решении дифференциального уравнения надо стремиться к тому, чтобы наряду с определением общего решения были найдены также и особые.
Замечание 2. С помощью подстановки к уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения вида (•),
=>
Уравнение (•) примет вид: , , или .
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение.
Разделим обе части на .
=> берем интегралы обеих частей => . В нашей задаче является особым решением (оно не может быть получено из общего интеграла ни при одном частном значении произвольной постоянной С).
12.3 Однородные и квазиоднородные уравнения
Уравнение вида называется однородным, если и однородные функции одного измерения (порядка).
Опр.3. Функция называется однородной измерения (порядка) m, если .
Решение такого уравнения проводятся путем введения новой переменной => , , с помощью которой уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными.
Замечание 3. Дифференциальные уравнение вида (6) в случае приводится к однородному с помощью замены переменных , где m,n находятся из системы где (m,n) – точка пересечения прямых и . Поскольку здесь , то уравнение (6) преобразуется к виду относительно функции .
Смысл этих замен состоит в избавлении от постоянных слагаемых в числителе и знаменателе аргумента функции .
Если в уравнении (6) , и следовательно , то оно примет вид . Подстановкой это уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 4.
Убеждаемся, что это уравнение однородное, производя подстановку , разделяем переменные: . Интегрируем , производим обратную замену ⇒ - общее решение (интеграл) данного ОДУ, особых решений нет.
Опр.4. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка называют квазиоднородным, если для всех 𝜆 > 0 справедливо равенство где .
Заменой квазиоднородное ОДУ можно преобразовать к ОДУ с разделяющимися переменными. Докажем справедливость этого утверждения. Получая в (7) , имеем , или . Учитывая это представление и проводя замену , запишем . Отсюда и следует ОДУ с разделяющимися переменными .
Некоторые ОДУ первого порядка можно привести к однородным заменой , где m – число, подлежащее определению.
Например, ОДУ после замены принимает следующий вид: . Оно будет однородным в случае равенства степеней всех его членов: при . Эти равенства справедливы, поэтому замена приводит к однородному ОДУ вида .
Решая конкретные уравнения при помощи замен вида , , следует обращать внимание на знаки переменных. Так, выражение при t < 0 и иррациональном m не определено.