12.24. Принцип суперпозиции
Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами
где 
.
Алгоритм решения.
Принцип
суперпозиции. Если
правая часть уравнения (96) есть сумма
нескольких функций 
и 
- какое-нибудь частное решение каздого
уравнения
то в силу линейности уравнения (96) его общее решение имеет вид
где 
- общее решение однородного уравнения
1. Находим
фундаментальную систему решений и общее
решение 
однородного уравнения.
2. Для каждого
неоднородного уравнения (97)
находим частное решение 
(используя, например, метод подбора или
метод вариации произвольных постоянных).
Записываем ответ в виде (98).
Пример 30. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
Решение.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение
и ищем его решение
в виде 
,
где 
- неизвестное число.
Подставляя 
и 
в уравнение (99) и сокращая 
,
получаем так называемое характеристическое
уравнение
Характеристическое
уравнение имеет три корня 
и 
.
Таким образом, имеем фундаментальную систему решений
и общее решение однородного уравнения
2. Решаем неоднородное уравнение, используя принцип суперпозиции:
а) ищем частное
решение 
неоднородного уравнения
в виде 
,
где А – неопределенный коэффициент (
так как 
– корень характеристического уравнения
кратности 
).
Дифференцируя 
три раза и подставляя в уравнение (100),
находим 
.
Таким образом,
б) ищем частное
решение 
неоднородного уравнения
в виде 
,
где 
и 
– неопределенные коэффициенты (так как
не являются корнями характеристического
уравнения, то множитель х
отсутствует).
Дифференцируя 
три раза и подставляя в уравнение (101),
находим 
и 
.
Таким образом,
Используя принцип суперпозиции (98), получаем
Ответ. 
.
Условия задач. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
1. 
Ответ: 
2. 
Ответ: 
12.25. Метод Лагранжа
Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами
с начальными условиями
Алгоритм решения.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами
Находим фундаментальную
систему решений 
и 
и общее решение однородного уравнения
2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).
Если известна
фундаментальная система решений 
и 
однородного уравнения (103), то общее
решение соответствующего неоднородного
уравнения (102) может быть найдено по
формуле
где функции 
и 
определяются из системы линейных
алгебраических уравнений
Интегрируя, находим
функции 
и 
и записываем общее решение неоднородного
уравнения.
3. используя начальные условия (102’), находим решение задачи Коши.
Записываем ответ
в виде 
.
Пример 31. Найти решение задачи Коши
с начальными
условиями 
.
Решение.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение:
Находим фундаментальную
систему решений 
и 
и общее решение однородного уравнения
2. применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных):
а) ищем решение данного неоднородного уравнения в виде
б) записываем систему уравнений для определения функций :
Решая ее (так как
решение ищем в окрестности точки 
,
то 
),
получим
Интегрируя, находим
в) записываем полученное общее решение данного неоднородного уравнения
3. используя
начальные условия, определяем константы
и 
.
Так как
то 
.
Так как
то 
.
Ответ. 
ю
Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.
1. 
Ответ: 
2.
Ответ:
.