- •Глава 12. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •12.1 Основные понятия и определения
- •12.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •12.3 Однородные и квазиоднородные уравнения
- •12.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •12.5 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •12.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной
- •12.7. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •12.7.1 Основные понятия. Теорема Коши.
- •12.7.2. Уравнения, допускающие понижения порядка.
- •12.8. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •12.9. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •12.11. Метод неопределенных коэффициентов для определения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.12. Уравнение Эйлера. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (основные понятия)
- •12.13. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
- •12.14. Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •12.15. Понятие решения
- •12.16. Уравнения с разделяющимися коэффициентами
- •12.17. Однородные уравнения
- •12.18. Линейные уравнения первого порядка
- •12.19. Уравнение Бернулли
- •12.20. Уравнения в полных дифференциалах
- •12.21. Уравнения вида
- •12.22. Уравнения вида
- •12.23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.24. Принцип суперпозиции
- •12.25. Метод Лагранжа
- •Вопросы, упражнения и задачи к главе «Дифференциальные уравнения»
- •Тест для самоконтроля к главе «Дифференциальные уравнения»
12.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида (8) называется линейным ( у и у ‘ входят в первых степенях, не перемножаясь между собой).
Если , то это уравнение называется линейным неоднородным, а если - линейным однородным.
Общее решение однородного уравнения легко получается разделением переменных; разделяя переменные в уравнении , находим последовательно
, или, наконец, , где С – произвольная постоянная.
Общее решение неоднородного линейного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения по методу Лагранжа,
(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) родился в Турине в итало-французской семье. 19 лет от роду он стал профессором математики артиллерийской школы в Турине. Создатель вариационного исчисления. Наиболее значительный труд «Аналитическая механика»)
варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая , где – некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция от х. Для нахождения подставляем у в исходное уравнение, что приводит к уравнению , отсюда , где С – произвольная постоянная.
Тогда искомое общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид .
Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем.
Полагая , где u, v – две неизвестные функции, преобразуем исходное уравнение к виду или .
Пользуясь тем. Что одна из неизвестных функций (например v) может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение должно удовлетворять исходному уравнению) принимают за v любое частное решение уравнения (например, ), обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при u в последнем уравнении.
Предыдущее уравнение приведется тогда к уравнению или , из которого находим u: . Умножая u на v, находим для решения исходного уравнения прежнее выражение .
Замечание 4. На практике поступают следующим образом: вводят подстановку (9). Эта подстановка (9) приводит уравнение (8) к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение .
Значит, делаем подстановку +
, а сокращая на и разделяя переменные . Возвращаясь к подстановке .
Другой способ (метод Лагранжа)
Ищем решение соответствующего однородного уравнения
делим на y
=> интегрируя, получаем
=> ( обозначим вновь через С)
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде , где - неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение
Сокращая на , , подставляя это значение в (*), получаем .
Уравнение вида называется уравнением Бернулли, так как (при уравнение является линейным, а при - уравнение с разделяющимися переменными).
После умножения его обеих частей на и подстановки , где z – новая искомая функция, оно приводится к линейному.
Преобразование уравнения Бернулли в линейное будем проводить в такой последовательности:
1) Умножим обе части уравнения на
2) Введем подстановку . Обе части этого равенства продифференцируем:
3) Полученное уравнение проинтегрируем как линейное с помощью подстановки
4) Возвращаемся к искомой функции, заменяя z на .
Пример 6.
Умножим обе части на
Делаем подстановку
( делим на 2 )
. См. предыдущий пример
Общий интеграл . Возвращаясь к искомой функции:
Замечание 5. На практике при решении уравнений Бернулли их не сводят к линейным, а интегрируют подстановкой или методом Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).
Уравнение Риккати по имени итальянского математика и инженера Я.Ф.Риккати (1676-1754) называют ОДУ вида (*), где – функции, непрерывные в некотором интервале изменения х. Это ОДУ содержит в себе частные случаи уже рассмотренных ранее уравнений: если , то (*) – линейное неоднородное уравнение ОДУ, а если - уравнение Бернулли с .
К сожалению, решение уравнения Риккати в общем случае не удается свести к операции интегрирования. Однако, если известно одно частное решение ОДУ (*), то его общее решение можно найти при помощи двух последовательных операций интегрирования.
Действительно, пусть - частное решение (*), выполнив подстановку получим
Так как - решение ОДУ (*), то окончательно имеем
Это уравнение Бернулли с . Заменой его можно свести к линейному неоднородному ОДУ, для нахождения общего решения которого достаточно выполнить последовательно две операции интегрирования.
Пример 7. Уравнение Риккати
Имеет частное решение . Замена приводит его к уравнению Бернулли Риккати . Положим ,тогда можно записать
Приравняв к нулю коэффициенты при u, получим ОДУ , имеющее частное решение . Теперь ОДУ для нахождения принимает вид
Разделяя переменные и интегрируя, получаем с учетом потерянного решения
и , где - первообразная функции .
В итоге исходное уравнение Риккати имеет решения и .
Замечание 6. Особых решений уравнение Риккати не имеет.