10. Уравнение состояния идеального газа. Закон равнораспределения Больцмана

Большое количество студенческих задач и упражнений на модель идеального газа в первую очередь включает само уравнение идеального газа (уравнение Клайперона). Оно связывает макроскопические параметры P, V, T, N (или другие комбинации). В самых простых вариантах бывает, что одного этогог уравнения и достаточно. Само же это уравнене учащимся хорошо известно, к тому же оно уже и выведено в предыдущем параграфе, это уравнение (9.4).

И здесь одна из основных задач - выбрать такой вариант уравнения по виду, который подходит для данной конкретной задачи. В уразанных выще переменных уранение имеет вид6

PV = NkT

(10.1)

Математически здесь 4 неизвестных величины, и если нет дополнительных условий, то уравнение имеет бесконечно многшо решений. Дополнительные условия даются бибо как конкретные числовые величины, либо в виде уравнений, выражающих особенностир процесса (изотермический, изохорический, изобарический, адиавбатический, и другие).

Количество вещества

Наряду с полным числом частиц N, количество вещества можно задать и другим способом = числом молей. Моль - это определённый выбранный масштаб количества частиц (такая же мера, как, например десятки или люжины). Это табличное число N_A (число Авогадро). Если число молкй равно , то полное число частиц рано N = N_A.

И, конечно, можно использовать массу, суммарная масса NA молекул называют молярной массой (если молекула состоит из одного атома, то говорят об атомарной массе):

(10.2)

где = масса одной молекулы. Вся полная масса:

(10.3)

откуда:

(10.4)

Эти формулы не зависят от агрегатного состояния вещества (твёрдого, жидкого, гозообразного). Таким образом, для задания количества вещества можно использовать массу, моли,число частиц. Соответственно, возникает и разная форма уравнения идеального газа:

(10.5)

Следует иметь в виду, что иногда в уравнение входит отношение некоторых неизвестных (например, концентрация или плотность), тогд их фактическое число может уменьшиться. Но ососенно часто дополнительное условие выражает какой=нибулю процесс, например адиабатический:

(10.6)

где есть отношение изобарической и ихохорической теплоёмкостей. Это уравнение носит название уравнения Пуассона, а - показатель адиабаты, или постоянная Пуассвона. Это уравнение может быть записано и в других парах переменных: (P = T), (V - T).

Более того, характер процесса может быть выражзен некоторым уравнением достаточно произвольно вида, например,:T= , и т. д. (где - некоторые постоянные заданные величины). С привлечением первого закона термодинамики

dQ = dU + p dV

решается польшое количество задач (dQ = C dT - колмчество тепла, C - теплоёмкость процесса).

Давление газа, оказываемое на стенки сосуда, есть результат ударов движущихся молекул, это поступательное движение. У микрочастиц могут быть и другие виды движений. Различные типы движений характеризуются числом степеней свободы i. Число степеней свободы - это наименьшее число параметров (обобщённых координат), для определения положения всего тела в провтранстве. Так что, наряду с поступательными степенями свободы, существуют и внутренние степени свободы, обусловленные относитеотным движением отдельных частей тела. Сюда относится также вращение тела как целого, и колебания составляющих частиц. Хотя непоступательные степени свободы не дают непосредственно вклада в макроскопическое давление, они могут содержать значительное количество энергии.

Особое положение у электронных состояний в атомах (не говоря уже о частицах в атомных ядрах), образующих молекулы. Все внутренние движения - квантованы, то есть имеют дискретный спектр энергии. Интерваны между соседними уровнями эонергии обрано пропорциональны квадрату линейных размеров, а, объёма, в котором заключена рассматриваемая частица ( ). Это следует непосредственно из соотношения неопределённостей [], откуда . Характерные энергии на атомномых уровнях составляют десятк и более эВ (1эВ = специальная единица измерения энергии для микрочастиц), при этом 1 эВ соответствует 11606 град. Поэтому обычные студенческие задачи имеют дело обычно с поступательыми, i, вращательными, ib, и колебательыми, ik, степенями свободы.

Существует закон равнораспределения Больцмана, согласно которому каждой энергии для каждой степени свободы, в состоянии термодинамического равновесия, следует приписать энергию kT/2. Фоктически, это утверждение сохраняет равновесие междуразличными степеняит свободыу. Если бы это было не так, то до возможна перекачка энергии по степеням свободы, а это есть нарушение равновесия. Энергия kT/2 приходится как уже известно на одну поступательную степень свободы, поэтому она приписывается и все остальным.

Итак, полная энергия одной молекулы может быть замисана в виде:

(10.7)

Поступательных степеней свободы в 3Д-пространстве - 3. Вращательных степеней свободы - 3 (вектор угловой скорости имеет три компоненты). Для линейных молекул одной степенью соободы обычно пренебрегают. поскольку вращение вокруг общей оси содерфит малый момент инерции (с квантовой точки зраения это означает, что первый возбуфдённый уровень имеет очень больую величину). Остальные степени свободы = колебательные Но каждая колебательная степень сободы содержит две энергии = кинетическую и потенциальную, поэтому общий вклад удваивается.

Полная энергия и изохорическая теплоёмкость даются формулами:

(10.8)

Для изобарической теплоёикости используется соотношение Р. Майера:

(10.9)

Теперь для показателя адиабаты имеем:

(10.10)

Ротатор и осциллятор

Эти термины стали довольно часто встречаться в современных задачах и тестах. Они связаны с буквальным переводм слов: rotation - вращение, jscilllanion - колебание. Так что под ротатором в принципе понимается любая система, имеющая вращетельные степени свободы, а осциллятор = система, имеющая колебательные степени свободы. В задачах следует только следить, сколько этих степеней свободы.

Так, 1Д-ротатор имеет всего одну степень свободы. Его вращательная энергия равна:

Поэтому средний квадрат угловой скорости записывается в виде:

(10.11)

Аналогично, 1Д-осциллятор имеет энергию:

( 19.12

Поэтому средний увадрат скорости и средний квадрат координаты записываются как:

(10.13)