7. Распределения Максвелла

Случайные величины могут быть как скалярными, так и векторными. В последнем случае мы имеем дело с несколькими проекциями в зависимости от размерности соответствующего пространства. Мы будем рассматривать в простейшем случае только статистически независимые значения проекций.

Вектор скорости имеет три декартовы координаты v_x, v_y, v_z. Функции распределения для них по виду совершенно одинаковы. Модуль скорости связан с проекциями стандартной формулой:

(7.1)

Тогда для среднего значения получаем очевидное соотношение:

(7.2)

Но поскольку все координатные оси совершенно эквивалентны, мы можем записать:

(7.3)

Таким образом, среднеквадратичное значение модуля скорости может быть выражено через одно из среднеквадратичных значений проекции скорости (все равно какой), например:

(7.4)

Распределение Максвелла для компонент скорости

Элементарная вероятность значения проекции скорости дается стандартной формулой:

(7.5)

Функция распределения вероятности имеет следующий вид:

( 7.6)

Это сразу следует из распределения Гиббса.

Здесь m - масса микрочастицы (молекулы), k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура. Распределение такого типа, когда в показателе экспоненты стоит квадрат случайной величины, носит название гауссовского. Обратим также внимание, что в показателе экспоненты стоит отношение кинетической энергии, соответствующей проекции скорости к величине кТ.

Для практических расчетов с использованием этой формулы очень неудобно каждый раз выписывать комбинации постоянных параметров. А кроме того, опыт показывает, что указанные комбинации параметров вообще плохо запоминаются студентами. Поэтому часто просто вводят единое обозначение для характерной комбинации параметров. И тогда функция распределения выглядит несколько проще:

(7.7)

Функция распределения должна удовлетворять условию нормировки:

(7.8)

Здесь возникает несобственный интеграл (интеграл Пуассона) типа:

(7.9)

Нетрудно проверить, что условие нормировки выполняется.

Сразу же отметим, что практическая работа с функциями распределения всегда связана с вычислением интегралов. При этом слово «вычисление» не совсем точное. Здесь задача заключается не в том, чтобы заниматься вычислением интегралов в математическом смысле этого слова, а в том, чтобы найти значение соответствующего интеграла в таблицах. Многие интегралы довольно стандартные, но, в принципе, могут встретиться и такие, которые выражаются через так называемые специальные функции, или встречаются и такие, которые вообще не берутся, и их следует находить методом числовых расчетов.

Но работа с таблицами достаточно проста и стандартна, и студенты должны уметь ее делать. Кроме того, есть несколько стандартных приемов преобразования вида интеграла путем замены переменных, а также получение новых интегралов путем преобразования старых.

Так, например, если продифференцировать обе части написанного выше интеграла по переменной , то получается новый интеграл вида:

(7.10)

Выпишем теперь некоторые стандартные значения параметров, наиболее часто используемые в различных типах тестов,