2.4. Касательное отображение и касательное рас­слоение.

При движении точки по кривой вектор изменяется. Имеем отображение точек кривой в векторное пространство при каждом значении :

.

Это касательное отображение вдоль кривой . Рассмотрев всевозможные кривые евклидова пространства , проходящие через точку , и ка­сательные отображения вдоль этих кривых, имеем касательное отображение евклидова пространства в его векторное пространство в точке . Множество касательных отображений во всех точках называется касательным расслоением.

2.5. Соприкасающаяся плоскость.

Рассмотрим плоскости, проходящие через касательную кривой в точке кривой. При изменении параметра получаем вектор . Для вектора имеет место формула Тейлора

,

бесконечно малое векторное слагаемое, более высокого порядка, чем . Точка кривой и касательная определяют плоскость . Нормальный вектор этой плоскости есть . Найдем нормаль плоскости при , т.е. при . Имеем

При второе слагаемое стремится к быстрее, чем . Следо­вательно, нормали рассматриваемых плоскостей незначительно отличаются от вектора . (мы рассматриваем регулярные кривые, этот вектор существует.) С уменьшением уменьшается длина вектора нормали, направление ее стремится к неизменному направлению .

Плоскость называется соприкасающейся плоско­стью кривой в точке . Уравнение соприкасающейся плоскости

.

2.5.1. ТЕОРЕМА. Положение соприкасающейся плоскости не зависит от параметризации кривой.

# Рассматриваем кривую в произвольной параметризации и в естественной параметризации . Имеем . Линейные пространства и совпадают, следовательно, совпадают и плоскости , . #

Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость называются еще соответственно первой и второй соприкасающимися плоскостями кривой. Соединяем теоремы 2.3.1 и 2.5.1:

2.5.2. ТЕОРЕМА. Соприкасающиеся плоскости регулярной кривой существуют, их положение не зависит от параметризации кривой. #

2.6. Сопровождающий репер кривой.

Пусть , регулярная класса кривая. Во всякой ее обыкновенной точке существует касательная единичный вектор касательной, см. пп. II.2 и II.3. Имеем и по лемме 2.2.3, , т.е. . Вектор определяет нормаль кривой в точке , она называется главной нормалью кривой в точке . Кривая в любой своей точке имеет бесконечно много нормалей, составляющих нормальную плоскость кривой. Вектор называется единичным вектором главной нормали кривой. Вектором бинормали называется вектор, перпендикулярный соприкасающейся плоскости кривой, единичный вектор бинормали обозначается , имеем , точнее,

,

есть векторное произведение векторов . Прямая называется бинормалью кривой.

С кривой связан сопровождающий репер , точка движется по кривой. Координатные оси: - касательная, < главная нормаль, - бинормаль. Координатные плоскости: - соприкасающаяся, - нормальная, - спрямляющая.

2.7. Кривизна кривой.

На регулярной кривой возьмем точку и точку . Угол между касательными и обозначим через . Изменению параметра соответствует изменение угла между касательными. Обозначим:

.

Имеем: , это скорость вращения единичного вектора касательной; . Таким образом, справедливо равенство

и .

Во всякой точке кривой :

и .

Величина называется кривизной или первой кривизной кривой в точке функция называется функцией кривизны кривой , , - вектор кривизны кривой . Величина называется радиусом кривизны кривой в точке . В направлении вектора кривизны откладывается отрезок . Окружность с центром и радиусом называется окружностью кривизны в точке или соприкасающейся окружностью кривой в токе . Она касается кривой и ее касательной в точке .