- •1. Подвижный репер поверхности.
- •1.1.Метод подвижного репера
- •2. Теория кривой.
- •2.2. Регулярная кривая.
- •2.2. Длина дуги. Естественный параметр кривои.
- •2.3. Касательная прямая и нормальная плоскость кривой.
- •2.4. Касательное отображение и касательное расслоение.
- •2.5. Соприкасающаяся плоскость.
- •2.6. Сопровождающий репер кривой.
- •2.7. Кривизна кривой.
- •2.8. Кркучение кривой.
- •2.9. Формулы френе.
- •2.10. Уплощение кривой.
- •2.11. Вычислительные формулы для кривизны и кручения кривой.
- •II.12. Прямая, окружность, винтовая линия.
- •2.13. Задание кривой функциями кривизны и кручения.
- •2.14. Линии постоянных кривизн.
- •2.15. Строение кривой вблизи обыкновенной точки.
- •3. Теория поверхности.
- •3.1. Регулярная поверхность.
- •3.2. Линии на поверхности.
- •3.3. Касательная плоскость и нормаль поверхности.
- •3.4. Первая основная квадратичная форма поверхности.
- •3.5. Метрика на поверхности.
- •3.6. Кривизна линий на поверхности.
- •3.7. Индикатриса кривизны.
- •3.8. Классфикация обыкновенных точек поверхности.
- •3.9. Главные кривизны на поверхности.
- •3.10. Вычисление полной и средней кривизн поверхности.
- •4.Кривая.
- •4.5.Вычислим кручение кривой :
- •4. 6. Изображение кривой.
- •5. Поверхность.
- •5.1. Найдем уравнение касательной плоскости, используя формулу:
- •5.2. Найдем уравнение нормали для искомой поверхности.
- •5.4.Вычисление второй квадратичной формы.
- •5.5.Вычисление полной кривизны поверхности
- •5.6. Вычисление средней кривизны поверхности.
- •5.7. Изображение поверхности.
3.4. Первая основная квадратичная форма поверхности.
В произвольной точке поверхности зададим направление, выбрав , . Отношение дифференциалов
определяет направление на поверхности, имеем
.
Производная от по направлению имеет вид
.
Малое смещение по кривой на поверхности вычисляется на основании равенств
.
Отсюда получаем, вычисляя скалярный квадрат ,
. (3.4.1) Введем обозначения:
, , . (3.4.2) Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки поверхности. Выражение
. (3.4.3) называется первой основной квадратичной формой поверхности .
3.5. Метрика на поверхности.
Малое расстояние на поверхности в направлении может быть найдено по первой квадратичной форме
.
На этом основании первая квадратичная форма поверхности определяет метрику на поверхности. Матрица Грама этой метрики:
,
,
Детерминант метрической формы равен
.
Для любых векторов и , угол между которыми равен , имеем
, ,
поэтому верно соотношение
.
Перепишем это равенство для , :
.
Отсюда, используя обозначения (III.4.2), находим:
, . (3.5.1)
Вместе с тем, получено
и детерминант первой квадратичной формы есть ее дискриминант.
Длину дуги кривой, проходящей через точку в направлении можно вычислить на основании дифференциала дуги (3.4.1):
.
Если через точку проходит еще одна линия в направлении , то угол между кривыми и есть угол между векторами и и может быть найден из формулы
.
Если первое направление есть направление -линии: , , второе направление есть направление -линии: , , и угол между -линией и -линией, то
.
Выполняется .
Элемент площади фигуры на поверхности равен
и по (3.5.1):
.
Теперь площадь фигуры , лежащей на поверхности , вычисляется по формуле
.
Итак, на основании первой квадратичной формы (3.4.3) поверхности на поверхности вычисляются длины линий между заданными точками, углы между линиями и площади фигур, лежащих на поверхности, т.е. могут быть произведены все измерения. Форма действительно является метрической.
3.6. Кривизна линий на поверхности.
На поверхности рассматриваем линию , в естественной параметризации
.
Согласно п. II.7, кривизна кривой определяется из равенства
,
где кривизна кривой, единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим единичный вектор нормали поверхности , это вектор
(3.6.1) см. п. 3.3. Умножим скалярно и :
,
если угол между и . Величина
называется нормальной кривизной кривой на поверхности или нормальной кривизной поверхности:
(3.6.2) Вычислим в окрестности точки . Находим
,
,
,
Здесь и , так как . Обозначим
, , .
На основании (3.6.1) и (3.6.2) имеем
; ; .
Коэффициенты , , вычислены в точке поверхности. Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:
. (3.1.3)
Отсюда получаем
.
Воспользуемся значением из первой квадратичной формы (3.4.3) поверхности
(3.6.4)
Квадратичная форма
называется второй квадратичной формой поверхности. Таким образом, нормальная кривизна поверхности есть отношение второй и первой квадратичных форм поверхности.
Рассмотрим на поверхности кривые, проходящие через точку и имеющие с кривой общую соприкасающуюся плоскость. У этих кривых общий вектор касательной и общий вектор кривизны . Среди этих кривых находится плоская кривая, лежащая в соприкасающейся плоскости , эта плоскость содержит и нормаль поверхности. Следовательно, выполняется
3.1.1. ТЕОРЕМА. Нормальная кривизна поверхности в точке есть кривизна нормального сечения поверхности. #