2.8. Кркучение кривой.

Отметим уже известные соотношения

. (2.8.1)

Продифференцируем равенство :

,

так как , то . Значит,

Отсюда и из (2.2.1) следует

.

Положим,

. (2.8.2)

Величина называется кручением кривой или второй кривизной кривой в точке . Вектор называется вектором кручения. При движении точки по кривой , т.е. с изменением параметра имеем функцию - функцию кручения. Знак величины может быть и положительным и отрицательным.

Кривизна кривой равна скорости вращения единичного вектора касательной кривой. Кручение кривой равно скорости вращения единичного вектора бинормали кривой.

2.9. Формулы френе.

Ранее найдены разложения векторов по векторам подвижного репера кривой. Найдем разложение в том же базисе:

,

или окончательно .

Полученные разложения , ,

называются формулами Френе. Им соответствует матрица

являющаяся кососимметрической. Первая и третья формулы Френе вводят две скалярные характеристики кривой – кривизну и кручение кривой. Согласно второй формуле Френе, дифференцирование второго вектора сопровождающего репера новых, по сравнению с полученными, характеристик кривой не входит.

2.10. Уплощение кривой.

Определим вид кривой, имеющей нулевое кручение, нулевую кривизну.

Пусть . Согласно (2.7.1), . Следовательно, - постоянный вектор. Это нормальный вектор соприкасающейся плоскости. Вектор не изменяется, значит, перпендикулярная ему плоскость параллельна сама себе. Вектор касательной остается перпендикулярным вектору , это вектор соприкасающейся плоскости, т. е. соприкасающаяся плоскость не изменяет своего положения при движении точки по кривой, она скользит сама по себе. Это означает, что кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости.

Обратно, если кривая плоская, то векторами ее плоскости являются и , вектор имеет постоянное направление, перпендикулярное плоскости кривой, и длина его постоянна, следовательно, и кручение кривой равно нулю. Получена

2.10.1. ТЕОРЕМА. Кручение кривой равно нулю, если и только если кривая плоская. #

Кроме того, выполняется

2.10.2. СВОЙСТВО. Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости. #

Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости, вектор ее нормали в этом случае постоянен, скорость его вращения равна нулю, поэтому кручение плоской кривой равно нулю.

Пусть теперь . Используем определение кривизны кривой, п.

2.7: . При вектор касательной имеет неизменное направ­ление, тогда - прямая линия. Верно и обратное. Справедлива

2.10.3. ТЕОРЕМА. Кривизна линии равна нулю, если и только если прямая линия. #

Если , то и о векторах , ничего сказать нельзя. Точки кривой, в которых , называются точками распремления.

2.11. Вычислительные формулы для кривизны и кручения кривой.

Если кривая задана в естественной параметризации , то согласно п. II.7, по определению кривизны кривой, , следовательно,

есть формула для вычисления кривизны кривой в естественной па­раметризации. Для вычисления кручения воспользуемся векторами про­изводных , , . Имеем: , ,

Здесь мы взяли вторую формулу Френе. Вычислим смешанное произведение векторов , , , учитывая

. (2.11.1)

.

Таким образом,

. (2.11.2)

Отсюда

.

Выражение в координатах:

.

Пусть теперь кривая задана в произвольной параметризации . Выразим , , через , , , учитывая и , см. (2.2.2).

.

Имеем:

По (2.11.1)

.

Переходя к модулям векторов, получаем: .

По (2.11.2), , значит, .

Запишем формулы для и в координатах:

Если кривая задана в плоскости , т.е. , то и

.