2.4. Введение неизвестных величин

2.4.1. Введение одного неизвестного

Если вы видите, что непосредственные манипуляции с цифрами, имеющимися в условии задачи, не позволяют прийти к решению, попробуйте ввести неизвестное, обозначив за х некоторую массу, количество вещества или объем. Затем попытайтесь вывести уравнение, содержащее это неизвестное на конкретную цифру. Постарайтесь обозначить за х либо ту величину, которая требуется в ответе задачи, либо ту, из которой очень легко получить ответ.

В тех случаях, когда в задаче не происходит каких–либо химических превращений (обычно это задачи на растворы) за х можно принять искомую массу ( см. пример 35)

Пример 95. В насыщенном при 20^оС растворе ортофосфата натрия с плотностью 1,06 г/мл молярная концентрация ионов натрия составляет 2,1 моль/л. Определите, какую массу двенадцативодного кристаллогидрата ортофосфата натрия можно растворить при данной температуре в 150 г раствора ортофосфата натрия с массовой долей соли 5%.

Решение:

1) Определяем массовую долю фосфата натрия в насыщенном растворе:

c(Na₃PO₄) = c(Na⁺) / 3 = 2,1 / 3 = 0,7 моль/л.

m(Na₃PO₄ в 1 л раствора) = 0,7 ∙ 164 = 114,8 г.

m(1 л раствора) = 1000 ∙ 1,06 = 1060 г.

(Na₃PO₄ в насыщенном растворе) = 114,8 / 1060 = 0,1083.

2) Обозначим за х массу Na₃PO₄∙12Н₂О, тогда масса конечного раствора равна х + 150 г и m(Na₃PO₄ в конечном растворе равна (х + 150) ∙ 0,1083 = 0,1083х + 16,23 г.

3) Рассчитываем массы Na₃PO₄ в исходном растворе и в исходном кристаллогидрате:

m(Na₃PO₄ в исходном растворе) = 150 ∙ 0,05 = 7,5 г.

m(Na₃PO₄ в Na₃PO₄∙12Н₂О) = m(Na₃PO₄∙12Н₂О) ∙ М(Na₃PO₄) / М(Na₃PO₄∙12Н₂О) = х ∙ 164 / 380 = 0,4316х.

4) Приравниваем сумму масс Na₃PO₄, найденных в п. 3), массе Na₃PO₄, определенной в п. 2), и находим х:

7,5 + 0,4316х = 0,1083х + 16,23. 0,3233х = 8,73. х = 27 г.

Ответ: m(Na₃PO₄∙12Н₂О) = 27 г.

Пример 96. Три соли растворили в 100 г воды и получили раствор с плотностью 1,1 г/мл и с равными массовыми долями ионов галогена, аммония и натрия. Молярная концентрация нитрат-ионов в растворе оказалась большей, чем молярная концентрация ионов калия, а молярная концентрация ацетат-ионов равна 1 моль/л и меньше, чем молярная концентрация ионов калия. Определите массы солей, взятых для приготовления раствора.

Решение:

1) Если равны массовые доли веществ в одном растворе, то равны и их массы. Обозначим массы ионов галогена, аммония и натрия за х и выразим через х их количества веществ. Поскольку из условия задачи неясно, о каком галогене идет речь, то рассчитаем количества веществ для всех возможных галогенов:

n(F^–) = х / 19 = 0,0526х моль; n(Cl^–) = х / 35,5 = 0,0282х моль; n(Br^–) = х / 80 = 0,0125х моль; n(I^–) = х / 127 = 0,0079х моль; n(NH₄⁺) = х / 18 = 0,0556х моль; n(Na⁺) = х / 23 = 0,0435х моль.

2) Ни галогенид натрия, ни галогенид аммония не могут быть одной из исходных солей, так как количества вещества катиона и аниона в этих галогенидах должны быть равны. Следовательно, одной из исходных солей должен быть галогенид калия, а двумя другими нитрат и ацетат натрия или аммония. Так как концентрация ацетат-ионов в растворе меньше, чем концентрация нитрат-иона, мы имели ацетат натрия и нитрат аммония. Количество вещества ионов галогена, равное количеству вещества ионов калия должно быть промежуточным между количествами веществ нитрат-ионов и ацетат-ионов, т.е. между количествами веществ ионов натрия и аммония. Этому условию соответствует только количество вещества ионов фтора. Таким образом, галогенидом был фторид калия.

n(CH₃COONa) = 0,0435х моль; n(KF) = 0,0526х моль; n(NH₄NO₃) = 0,0556х моль.

4) Выразим через х массу и объем конечного раствора и найдем х, учитывая, что концентрация ацетата натрия в конечном растворе = 1 моль/л:

m(CH₃COONa) = 0,0435х ∙ 82 = 3,567х.

m(KF) = 0,0526х ∙ 58 = 3,051х.

m(NH₄NO₃) = 0,0556х ∙ 80 = 4,448х.

m(конечного раствора) = 3,567х + 3,051х + 4,448х + 100 = 11,066х + 100.

V(конечного раствора) = (11,066х + 100) / 1,1 = 10,06х + 90,91 мл = 0,01006х + 0,09091 л.

0,0435х / 1 = 0,01006х + 0,09091; 0,03344х = 0,09091. х = 2,719.

5)Рассчитаем массы исходных солей:

m(CH₃COONa) = 3,567 ∙ 2,719 = 9,7 г.

m(KF) = 3,051 ∙ 2,719 = 8,3 г.

m(NH₄NO₃) = 4,448 ∙ 2,719 = 12,09 г.

Ответ: m(CH₃COONa) = 9,7 г; m(KF) = 8,3 г; m(NH₄NO₃) = 12,09 г.

Если в задаче происходят химические превращения веществ, то за неизвестное лучше принимать количество вещества — это облегчает расчеты (см. примеры 43, 59, 60, 62, 65, 68, 72, 82, 83, 84, 87 и 88)

Пример 97. Газ, образовавшийся при нагревании меди в избытке концентрированной серной кислоты, пропустили через 18,2 мл раствора сульфита натрия с массовой долей соли 0,0944 и плотностью 1,1 г/мл. При этом образовался раствор двух солей с равными массовыми долями. Определите массу растворившейся меди и массовые доли солей в конечном растворе.

Решение:

1) Рассчитаем количество вещества сульфита натрия, обозначим за х количество вещества взятой меди и запишем уравнения химических реакций, указав количества реагирующих и образующихся веществ:

n(Na₂SO₃) = 18,2 ∙ 1,1 ∙ 0,0944 / 126 = 0,015 моль.

Было: х

Cu + 2H₂SO₄  CuSO₄ + SO₂ + 2H₂O (1)

Прореагировало: х стало: х

Было: 0,015 х

Na₂SO₃ + SO₂ + H₂O  2NaHSO₃ + (Na₂SO₃) (2)

Прореагировало: х х стало: 2х 0,015 – х

2) Если массовые доли двух веществ в одном и том же растворе равны между собой, то равны и их массы. Выражаем через х массы двух солей и приравнивая их, находим х:

m(NaHSO₃) = 2х ∙ 104 = 208х.

m(Na₂SO₃) = (0,015 – х) ∙ 126 = 1,89 – 126х.

208х = 1,89 – 126х. 334х = 1,89. х = 0,005659

3) Находим массу меди, массу конечного раствора и массовые доли солей в конечном растворе:

m(Cu) = 0,005659 ∙ 64 = 0,3622 г.

m(конечного раствора) = m(раствора Na₂SO₃) + m(SO₂) = 18,2 ∙ 1,1 + 0,005659 ∙ 64 = 20,38 г.

m(NaHSO₃) = 208 ∙ 0,005659 = 1,177 г.

(NaHSO₃) = (Na₂SO₃) = 1,177 / 20,38 = 0,05776.

Ответ: m(Cu) = 0,3622 г. (NaHSO₃) = (Na₂SO₃) = 5,776%.

Пример 98. В результате смешивания раствора нитрата свинца с раствором гидросульфида калия образовался раствор, масса которого равна массе одного из исходных растворов, и в котором молярные концентрации ионов калия и нитрат-ионов относятся как 1 : 3, а массовая доля воды равна 80,1%. Определите массовые доли веществ в исходных и конечном растворах.

Решение:

1) Поскольку масса конечного раствора равна массе одного из исходных растворов, масса второго исходного раствора должна равняться массе осадка сульфида свинца. Вторым раствором может быть только раствор гидросульфида калия, так как молярная масса нитрата свинца больше молярной массы сульфида свинца и масса его раствора не может быть равной массе осадка.

2) Пусть n(PbS) = x, а масса конечного раствора и, следовательно, масса раствора нитрата ртути равны 100 г. Поскольку концентрация нитрат–ионов в конечном растворе больше концентрации ионов калия, нитрат свинца был в избытке. Записываем уравнение реакции и указываем количества реагирующих и образующихся веществ:

Было: 1,5х

Pb(NO₃)₂ + KHS  PbS + KNO₃ + HNO₃ + [Pb(NO₃)₂]

Прореагировало: х х стало: х х х 0,5х

n{Pb(NO₃)₂ в конечном растворе} = [n(К⁺) ∙ 3 – n(NO₃^– в KNO₃ и в НNO₃)] / 2 = (х ∙ 3 – 2х) / 2 = 0,5х.

3) Выражаем через х массы веществ в конечном растворе и находим х:

m(KNO₃) = 101х г.

m{Pb(NO₃)₂ в конечном растворе} = 0,5х ∙ 331 = 165,5х г.

m(HNO₃) = 63х г.

m(воды в конечном растворе) = 100 ∙ 0,801 = 80,1 г.

m(растворенных веществ) = 100 – 80,1 = 19,9 г.

101х + 165,5х + 63х = 19,9. 329,5х = 19,9. х = 0,0604 моль.

4) Рассчитываем массовые доли веществ в исходных и конечном растворах:

m[Pb(NO₃)₂ в исходном растворе] = 331∙1,5 ∙ 0,0604 = 30 г.

[Pb(NO₃)₂ в исходном растворе] = 30 / 100 = 0,3.

Масса раствора KHS равна массе сульфида свинца.

m(раствора KHS) = 239 ∙ 0,0604 = 14,4 г.

m(KHS) = 72 ∙ 0,0604 = 4,35 г.

(KHS в исходном растворе) = 4,35 / 14,4 = 0,302.

{Pb(NO₃)₂ в конечном растворе} = 165,5 ∙ 0,0604 / 100 = 0,1.

(KNO₃) = 101 ∙ 0,0604 /100 = 0,061.

(HNO₃) = 63 ∙ 0,0604 / 100 = 0,038.

Ответ: {Pb(NO₃)₂ в исходном растворе} = 30%. (KHS в исходном растворе) = 30,2%. {Pb(NO₃)₂ в конечном растворе} = 10%. (KNO₃) = 6,1%. (HNO₃) = 3,8%.

В задачах на газы через неизвестное можно обозначать объем газа, если это не приводит к усложнению расчетов.

Пример 99. Некоторый объем кислорода смешали с 5,6 л азота (н.у.) и пропустили через озонатор, в результате чего объем газовой смеси уменьшился на 9,1%, а ее плотность стала 1,482 г/л (н.у.). Определите объем взятого кислорода.

Решение:

1) Записываем уравнение химической реакции:

3О₂  2О₃

2) Обозначим за х объем исходного кислорода и выразим через х объемы исходной и конечной газовых смесей:

V(исходной смеси) = х + 5,6 л.

V(конечной смеси) = V(исходной смеси) – 0,091 ∙ V(исходной смеси) = 0,909 ∙ V(исходной смеси).

V(конечной смеси) = 0,909 ∙ (х + 5,6) = 0,909х + 5,0904 л.

3) Выражаем через х массы исходной (как сумму масс исходных газов) и конечной (как произведение плотности на объем) газовых смесей и приравниваем их, так как масса газов в результате пропускания через озонатор не изменяется. Находим х:

m(исходной смеси) = (х / 22,4) ∙ 32 + (5,6 / 22,4) ∙ 28 = 1,429х + 7.

m(конечной смеси) = (0,909х + 5,0904) ∙ 1,482 = 1,347х + 7,544.

1,429х + 7 = 1,347х + 7,544. 0,082х = 0,544. х = 6,634 л.

Ответ: V(О₂) = 6,634 л.

Задачи для самостоятельного решения

157. Сколько г оксида серы(VI) надо растворить в 55,6 мл 91%-ной (по массе) серной кислоты с плотностью 1,799 г/мл, чтобы получить олеум, в котором массовая доля кислорода как элемента составляет 63,71%. Какова массовая доля оксида серы(VI) в этом олеуме?

158. В одном литре воды растворили 330 г соли, затем добавили некоторые количества растворов кислоты и щелочи с массовыми долями 20% и получили раствор, имеющий сильно кислую реакцию среды, в котором массовые доли ионов щелочного металла, сульфат-ионов и хлорид-ионов равны между собой. Определите массовые доли веществ, присутствующих в полученном растворе, если известно, что молярная концентрация ионов щелочного металла в нем больше концентрации ионов аммония.

159. При растворении некоторого количества оксида фосфора(V) в 100 г раствора фосфорной кислоты ее массовая доля увеличивается с 20 до 34,68%. Рассчитайте массовые доли веществ в растворе, образующемся при добавлении такого же количества оксида фосфора(V) к 90,9 мл раствора гидроксида натрия с массовой долей щелочи 20% и плотностью 1,1 г/мл.

160. Некоторое количество бензола обработали 200 мл смеси растворов азотной и серной кислот с плотностью 1,6 г/мл и массовой долей серной кислоты 50%. После проведения реакции массовая доля серной кислоты в неорганическом слое увеличилась до 53,78%. Органический слой подвергли восстановлению в присутствии чугунных стружек и соляной кислоты. Определите массу взятого бензола и массу полученного конечного продукта, если выход на каждой из обеих стадий составлял 80%.

161. К 100 г раствора нитрата ртути(II) добавили раствор гидрофосфата натрия и получили раствор, масса которого равна массе одного из исходных растворов. Определите массы веществ, содержащихся в полученном растворе, если известно, что молярные концентрации ионов натрия и нитрат-ионов в нем относятся как 1 : 2, а массовая доля воды составляет 80,19%.

162. 8,96 л (н.у.) метиламина сожгли в избытке кислорода. Полученную газовую смесь привели к нормальным условиям и пропустили через озонатор, причем оказалось, что ее плотность при этом увеличилась на 4,17%, и стала равной 1,643 г/л (н.у.). Определите исходный объем кислорода, и объемные доли веществ в конечной газовой смеси.

2.4.2. Введение нескольких неизвестных и составление систем уравнений.

Существует значительное число задач, наиболее рациональное решение которых требует введения нескольких неизвестных и решения системы уравнений. Такая ситуация обычно возникает в тех случаях, когда цифровые данные задачи касаются одновременно одной и той же смеси, одного и того же раствора, или одних и тех же уравнений реакций.

Если в задаче идет речь о смесях или растворах за х и у можно обозначать искомые массы веществ (см. примеры 22 и 36) или количества их вещества (см. пример 9). Если, однако, с этой смесью или раствором происходят какие–либо дальнейшие химические превращения, за неизвестные лучше принимать именно количества веществ компонентов смеси или раствора (см. примеры 26, 48, 49, 61, 70, 79 и 85). В задачах на газы в качестве неизвестных можно принимать искомые объемы.