0. Примеры задач с квадратными уравнениями

Пример 113. Смесь двух газообразных водородных соединений различных элементов, один из которых имеет валентность (III) , а другой валентность (IV), с массовой долей соединения ЭН₄ 55,17 % имеет плотность при н.у. 1,942 г/л. Определите формулы этих соединений, если известно, что в смеси равных объемов этих газов массовая доля водорода как элемента составляет 6,364 %.

Решение:

1. Обозначим молярную массу ЭН₄ за х и молярную массу ЭН₃ за у. Пусть количество вещества первой газовой смеси равно 1 моль, тогда ее масса равна ее средней молярной массе. Выразим через х и у количества ЭН₃ и ЭН₄ и составим первое уравнение:

m(газовой смеси) = 1,942 ∙ 22,4 = 43,5 г.

m(ЭН₄) = 43,5 ∙ 0,5517 = 24 г. (ЭН₄) = 24 / х.

m(ЭН₃) = 43,5 – 24 = 19,5 г. (ЭН₃) = 19,5 / у.

24 / х + 19,5 / у = 1. 19,5х + 24у = ху.

2. Если равны объемы газов, то равны и их количества веществ. Пусть вторая смесь содержала 1 моль ЭН₃ и 1 моль ЭН₄, тогда масса атомов водорода в этой смеси составит 3 + 4 = 7 г, а масса смеси будет равна х + у. Составляем второе уравнение с использованием массовой доли водорода:

х + у = 7 / 0,06364 = 110.

3. Составляем систему уравнений и находим х и у:

х + у = 110 х = 110 – у у² – 105,5у + 2145 = 0

19,5х + 24у = ху 2145 – 19,5у + 24у = 110у – у² D = 105,5² – 4 ∙ 2145 = 2550

√D = 50,5

у₁ = (105,5 – 50,5) / 2 = 27,5. х₁ = 110 – 27,5 = 82,5.

у₂ = ( 105,5 + 50,5) / 2 = 78. х₂ = 32

4. Определяем формулы искомых соединений:

Первый корень не подходит, так как элемента с молярной массой 27,5 – 3 = 24,5, образующего газообразное соединение с водородом, в природе не существует.

Второй корень дает молярную массу трехвалентного элемента = 78 – 3 = 75 — это мышьяк и соединение AsH₃. Молярная масса четырехвалентного элемента = 32 – 4 = 28 — это кремний и соединение SiH₄.

Ответ: AsH₃ и SiH₄.

Пример 114. Смесь метана с избытком кислорода подожгли, продукты сгорания привели к нормальным условиям и получили газовую смесь, плотность которой оказалась на 25 % больше плотности исходной смеси метана с кислородом, измеренной при тех же условиях. Полученную газовую смесь пропустили через раствор гидроксида натрия с плотностью 1,2 г/мл и массовой долей щелочи 20 %, объем которого был в 537,2 раза меньше объема исходной газовой смеси, измеренного при нормальных условиях. Определите массовые доли веществ в полученном растворе. Коэффициенты растворимости гидрокарбоната и карбоната натрия в данных условиях составляют 95 и 220 г/л(Н₂О) соответственно.

Решение

1. Определяем количество образовавшегося СО₂. Пусть был 1 моль исходной газовой смеси, в которой содержалось х метана и у моль кислорода. Запишем уравнение реакции, указав количества реагирующих и образующихся веществ:

Было: х у

СН₄ + 2 О₂ ® СО₂ + 2 Н₂О ¯ + (О₂)

Прореагировало: х 2у стало: х у – 2х

Плотность исходной газовой смеси равна (16х + 32у) / 22,4; плотность конечной газовой смеси равна (44х + 32у – 64х) / [22,4 ∙ (х + у – 2х)]. Учитывая, что плотность конечной смеси на 25 % больше плотности исходной смеси, записываем первое уравнение:

[(16х + 32у) / 22,4] ∙ 1,25 = (44х + 32у – 64х) / [22,4 ∙ (х + у – 2х)];

(20х + 40у) ∙ (у – х) = 32у – 20х;

20ху + 40у² – 20х² – 40ху = 32у – 20х;

40у² – 20х² – 20ху = 32у – 20х;

Второе уравнение: х + у = 1. выражаем х через у и подставляем в первое уравнение:

х = 1 – у. х² = 1 – 2у + у²

40у² – 20(1 – 2у + у²) – 20(1 – у)у = 32у – 20(1 – у);

40у² – 20 + 40у – 20у² – 20у + 20у² = 32у – 20 + 20у;

40у² – 32у = 0; 40у = 32; у = 0,8; х = 0,2

n(СО₂) = 0,2 моль.

2) Определяем количество вещества гидроксида натрия и количества образовавшихся веществ:

V(раствора NaOH) = 22,4 / 537,2 = 0,0417 л = 41,7 мл.

m(раствора NaOH) = 41,7 ∙1,2 = 50 г.

n(NaOH) = 50 ∙ 0,2 / 40 = 0,25 моль.

Было: 0,2 0,25

СО₂ + 2 NaOH ® Na₂CO₃ + H₂O + (CO₂)

Прореагировало: 0,125 0,25 стало: 0,125 0,125 0,075

Было: 0,125 0,075

Na₂CO₃ + CO₂ + H₂O ® 2 NaHCO₃ + (Na₂CO₃)

Прореагировало: 0,075 0,075 0,075 стало: 0,15 0,05

3. Рассчитываем массовые доли веществ в конечном растворе:

m(Н₂О в конечном растворе) = 50 ∙ 0,8 + (0,125 – 0,075) ∙ 18 = 40,9 г.

m(NaHCO₃) = 0,15 ∙ 84 = 12,6 г.

m(Na₂CO₃) = 0,05 ∙ 106 = 5,3 г.

95 г NaHCO₃ растворяется в 1000 г Н₂О 220 г Na₂CO₃ растворяется в 1000 г Н₂О

а — 40,9 в — 40,9

а = 40,9 ∙ 95 / 1000 = 3,89 в = 40,9 ∙ 220 / 1000 = 9

Из раствора выпадет 12,6 – 3,89 = 8,71 г NaHCO₃, Na₂CO₃ весь останется в растворе.

m(конечного раствора) = 40,9 + 3,89 + 5,3 = 50,1 г

w( NaHCO₃) = 3,89 / 50,1 = 0,077;

w(Na₂CO₃) = 5,3 / 50,1 = 0,106.

Ответ: w( NaHCO₃) = 7,7 %; w(Na₂CO₃) = 10,6 %.

Задачи для самостоятельного решения

177. Плотность смеси двух газообразных водородных соединений различных элементов формулы Э¹Н₂ и Э²Н₃, в которой массовая доля соединения Э¹Н₂ составляет 56,67%, при н.у. равна 2,009 г/л. Определите какие это соединения, если известно, что в смеси равных объемов этих веществ массовая доля водорода как элемента равна 4,464 %.

178. 5,6 л смеси метиламина с избытком кислорода подожгли. Полученную газовую смесь привели к нормальным условиям и пропустили через избыток раствора гидроксида натрия и получили 80 г раствора с массовой долей щелочи 2,5 %. Определите массу сожженного метиламина и массовую долю щелочи в исходном растворе, если известно, что плотность газовой смеси в результате пропускания через раствор щелочи уменьшилась на 11,3 %.