3.5. Структурный метод повышения качества систем

Такую чувствительность можно реализовать в сложных системах прежде всего, в классе систем без обратных связей. Такой же чувствительностью будут обладать последовательное или параллельное соединение безусловно устойчивых блоков, в каждом из которых могут быть обратные связи.

известные критерии устойчивости систем не дают критериев безусловной устойчивости для ещё не спроектированных систем. Такие критерии ориентированы на анализ устойчивости уже существующих систем.

Поставленная проблема решается в два шага. На первом шаге в результате решения задачи аппроксимации A характеристик будущей системы находится её математическая модель D(Z,s), удовлетворяющая критериям устойчивости. Поэтому согласно (2.6) на следующих двух этапах структурного аспекта проектирования используется модель K(s), в которой вместо численных коэффициентов z_i, используются символьные коэффициенты a_i и b_j. Из всех критериев устойчивости только критерии Гурвица оперируют с символьными коэффициентами знаменателя функции K(s). модернизируем критерии Гурвица [1] для построения критериев безусловной устойчивости. Приведём критерии Гурвица² для систем, описываемых уравнениями до 5-го порядка:

При синтезе функции D(Z,s) критерии (3.22) обязательно выполняются. Однако при физической реализации эти коэффициенты z_i состоят из сумм произведений параметров элементов системы и образуют соответствующие коэффициенты a_i, значение которых всегда будут отличаться от z_i , так как реальные элементы всегда имеют допуски на погрешность изготовления соответствующего параметра. Следовательно, с ростом порядка n увеличивается не только число перемножаемых коэффициентов, но и число перемножаемых параметров элементов входящих в них, а поэтому отклонение z_i от расчётного значения может привести к изменению знака неравенств (3.22а) – (3.22в) и возбуждению системы.

На втором шаге в рамках критерия Гурвица выводятся критерии безусловной устойчивости (см.) [Лып].

Идея получения критериев достаточно проста: необходимо синтезировать структуру системы такой, чтобы для неё неравенства (3.22) выполнялись при любых значениях параметров элементов, формирующих коэффициенты a_i. Это можно выполнить при единственном условии: среди всех положительных слагаемых (3.22) (например для n=3: a₂a₁), должны содержаться слагаемые тождественно равные отрицательным (a₀a₃) и ещё должно остаться какое-то число положительных слагаемых. Для синтезируемой функции из условий (3.22) получаем

где , , -- остатки многочленов a₁a₂, a₁a₂a₃ и a₃a₄ , полученные после выделения из них соответственно многочленов многочлен оставшийся от после выделения из него многочлена .

Критерий безусловной устойчивости для систем с согласно (3.22а) будет выполнен, если все коэффициенты просто положительны. Для систем, описываемых уравнениями с n>5, можно воспользоваться рекуррентной формулой, приведённой в справочнике [31], для установления тождеств, подобных (3.23).

Иногда возникает вопрос о выполнении безусловной устойчивости в системах, спроектированных на безинерционных элементах, но в действительности не являющихся таковыми, хотя их инерционность определяется весьма малыми постоянными времени. Это типовой случай для систем, построенных на операционных усилителях, у которых коэффициент усиления . Если в системе содержится два или большее число ОУ, охваченных контуром отрицательной обратной связи, то небольшое число возможных структур оказывается просто устойчивыми, а ещё меньшее число структур будет безусловно устойчивыми.

Как уже отмечалось, безусловная устойчивость системы частично реализуется на этапе принципов построения, если отказаться от применения обратных связей, охватывающей несколько компонент системы и, не применяя её внутри компонента. Однако это не всегда оказывается возможным практически и оправданным с экономической точки зрения.

Тождества и неравенства (3.23) определяют способы построения систем с контурами обратной связи, обеспечивающими высокое качество систем за счёт особенностей их структуры, описываемых соотношениями (3.23).

Таким образом, критерии (3.23) должны использоваться в качестве свёртки векторного критерия качества Op_i при формировании функции выбора. Причём, критерии безусловной устойчивости должны занимать в функции выбора первые места, чтобы при лексикографическом сравнении³ разных структур можно было отсеять на самых ранних стадиях проектирования структуры, не удовлетворяющие ТЭТ.

по векторному критерию качества i-го этапа

сравнивают l синтезированных структур. Считают, что структура W_k не хуже структуры W_t , если выполнено

,

и структуры эквивалентны () в смысле критерия Op_i , если

частные критерии не все равноценны, поэтому ранжируют их по важности, объединив равноценные в комплексы. В этом случае можно добиваться приращения более важного критерия за счёт потерь по всем остальным менее важным критериям. Отыскание в указанном смысле эффективных структур можно осуществить, решив лексикографическую задачу оптимизации [32]

где W_γ – множество всех возможных структур.

В соответствии с лексикографическим отношением предпочтения структур , которое будет справедливо, если выполняется одно из λ условий

(3.25)

Когда лексикографически эффективные структуры существуют, то задачу (3.24) решают так: найти

(3.26)

Итак, наиболее важным критериям высокого качества системы придают наименьшие номера η критериев Op_iη и все структуры им не удовлетворяющие из дальнейшей процедуры синтеза исключаются. Однако в базе знаний(см.) отвергнутые структуры остаются для решения других задач с иными заданиями, а также для того, чтобы не повторять при подобных технических условиях все процедуры синтеза заново.