2.1.1. Законы теории электрических цепей

Электрическая цепь представляет собой систему, состоящую из элементов (компонентов). В соответствии с системным подходом законы теории электрических цепей делят на структурные и компонентные. Первые определяются только структурой (топологией) цепи и не зависят от особенностей составляющих цепь элементов. Вторые, напротив, описывают специфические особенности элементов и безразличны к месту расположения их в цепи.

Структурных законов два: закон Кирхгофа для токов (первый закон Кирхгофа) и закон Кирхгофа для напряжений (второй закон Кирхгофа). Познакомимся с их современными формулировками.

Первый закон Кирхгофа относится к сечению цепи. Мысленно разделим (рассечем) цепь замкнутой поверхностью на две части любым из двух способов, показанных на рис. 2.3 (след секущей поверхности показан штрихо­вой линией). Во всех местах, где провода пересекают поверхность, включим измерители тока, одинаково ориентированные по отношению к ней (см. стрелки — направления отсчета на рис. 2.3). Тогда в любой момент времени алгебраическая сумма их показаний будет равна нулю:

Рис. 2.3

Второй закон Кирхгофа относится к контуру. Если n измерителей напряжения соединены в кольцо ("многоугольник") разноименными клеммами, а места их соединения (вершины многоугольника) подключены к произвольным точкам цепи (рис. 3.4), то в любой момент времени алгебраическая сумма их показаний окажется равной нулю:

Поведение элемента электрической цепи (резистора, конденсатора, катушки индуктивности) описывают с помощью его модели, связывающей напряжение на его выводах и ток, протекающий через него. Для перечисленных элементов имеем следующие модели:

.

Рис. 2.4

Электронные устройства содержат нелинейные элементы – диоды и транзисторы, описываемые нелинейными моделями Молла-Эберса и Шоттки. Эти модели будут рассмотрены в пятом и шестом разделах.

Использование законов Кирхгофа приводит к избыточному числу уравнений. С целью их сокращения для линейной цепи прибегают при составлении модели всего устройства к методу узловых напряжений и принципу наложения. Последний базируется на линейности уравнений цепи и позволяет свести задачу анализа со многими источниками к совокупности более простых задач с одним источником.

Узловые напряжения — напряжения узлов цепи относительно одного узла, принятого в качестве опорного. Для связной цепи с q узлами число таких напряжений, очевидно, равно q - 1. Основой для формирования узловых уравнений являются уравнения первого закона Кирхгофа для всех узлов, кроме опорного.

Для вывода узлового уравнения рассмотрим k-й узел цепи (рис. 3.5), соединенный ветвями, содержащими проводимости G=1/R. источники напряжения и тока, с узлами 0, 1- 3. Как будет видно позже, более физично всегда использовать проводимости вместо сопротивлений.

При выборе направлений токов, указанных на рис. 3.5, (данный пример и раздел по магнитным цепям взят с разрешения автора из учебника [5]) уравнение первого закона Кирхгофа для k-ro узла имеет вид

i_o - i₁ - i₂ + i₃ -J₄ = 0.

Выразим токи в ветвях, присоединенных к узлу, через узло­вые напряжения u₁₀, u₂₀, u₃₀ и u_k0:

i₀ = u_ko G_k; i₁ = (u₁₀ — u_k0 — u₁) G₁;

i₂ = (u₂₀ –u_k0) G₂; i₃ = (u_k0 - u₃₀)G₃ .

Рис. 2.5

Подставив эти выражения для токов в уравнение первого закона Кирхгофа, получим

(g_i + G₂ + G₃ + G_k) u_kO - G₁ u_1O - G₂ u₂₀ - G₃u_3О = J₄ - u₁G_i.

В общем виде узловое уравнение для k-ro узла можно запи­сать, используя двойную индексацию проводимостей, принятую для линейных алгебраических систем:

u_k0 = (J_ky +G_k1 u₁₀ + G_k2 u₂₀ + . . . +)/ G_kk =

=(å_k u_k0 G_km + J_ky)/ G_kk (2. 1)

Правило формирования уравнения узловых напряжений.

Основываясь на принципе наложения, каждое слагаемое уравнения (3.1) записывается при условии, что остальные напряжения u_k0, u_i и токи J_ky равны нулю. Собственная проводимость k-ro узла (G_kk) равна сумме проводимостей всех элементов, присоединенных к данному узлу. Общая проводимость узлов m и k (G_km) равна сумме проводимостей элементов, соединяющих узлы m и k. Правая часть узлового уравнения—узловой ток J_ky—равен алгебраической сумме источников тока, присоединенных к данному узлу.

Источники напряжения u_i, включенные последовательно с проводимостями G, учитываются в узловых токах в виде произведения u_iG рассматриваемой составной ветви (полагается отсутствие источников напряжения, у которых внутренняя проводимость G=¥).

Слагаемые узлового тока берутся со знаком «плюс» для источников, направленных к данному узлу, и со знаком «минус» – при противоположном направлении источника.

Таким образом, для цепи с q узлами составляем систему q—1 линейных алгебраических уравнений, представляющих собой математическую модель электрической цепи. Для вычисления узловых напряжений удобно модель представить в матричном виде

G_yu₀ = J_y, (2.2)

где G_y - квадратная матрица узловых проводимостей; u₀— вектор узловых напряжений; J_y - вектор узловых токов:

(2.3)

2.1.2. Энергетические соотношения в резистивной цепи.

Мощность, потребляемая резистивными элементами цепи равна:

_,

где напряжение и ток соответственно u_k, i_k элемента G_k..

Из закона сохранения энергии следует равенство мощности p_k сумме мощностей, отдаваемых действующими в электрической цепи источниками напряжения и тока. Из-за нелинейности уравнения, связывающего мощность с напряжением и током, нельзя применить принцип наложения для определения мощности, потребляемой всей цепью.