- •Наблюдаемые явления (результат испытаний)
- •Алгебра событий
- •Диаграммы Эйлера-Венна
- •Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула вероятности гипотез
- •Формула Бернулли
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Случайные одномерные величины
- •Распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •2.Распределение Пуассона
- •Основные формулы комбинаторики, используемые для определения вероятностей алгебры событий
- •Функция (интегральный закон) распределения с.В.
- •Плотность вероятности (дифференциальный закон) распределения непрерывной с.В.
- •Числовые характеристики распределения с.В.
- •Математическое (безусловное) ожидание с.В.
- •Дисперсия (безусловная) с.В.
- •5.Квантили распределения
- •Нормальное (Гауссово) распределение
- •Функция Лапласа
- •Равномерное (равновероятное, прямоугольное)
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Распределение χ2
- •Двумерные с.В. («проклятие размерности»)
- •Свойства
- •Условные математические ожидания (регрессии)
- •II. Математическая статистика
- •Построение эмпирической (статистической) функция распределения
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик
- •Математического ожидания и дисперсии
- •Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения
- •Методы оценки параметров известного распределения
- •1.Метод моментов (Пирсона)
- •2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)
- •Парная линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Коэффициент детерминации регрессий
Диаграммы Эйлера-Венна
Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара при вынимании из урны одного шара. С появлением цветного шара свяжем или событие - вынимание красного шара, или событие вынимание синего шара.
Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна 1 (условие полноты группы событий).
2.Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
3.Произведением двух событий и называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.
Пример: – деталь годна, – деталь окрашена – деталь годная и окрашенная.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пример: событие – появление герба при первом броске монеты, - появление герба при втором броске, - появление герба при третьем броске, – появление герба при всех трех бросках.
4.Условной вероятностью (или ) называют вероятность
события , вычисленную в предположении, что событие наступило.
Пример. В урне 3 белых шаров и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая обратно. Найти вероятность появления белого шара, при втором испытании (событие ), если при первом испытании (событие ) был извлечен черный шар. .
События и в этом примере зависимые.
- безусловная вероятность, а - условная вероятность.
5.Формула вероятности произведения двух зависимых событий.
и
-
Формула вероятности произведения двух независимых событий:
Условие независимости: .
6.Формула вероятности произведения нескольких зависимых событий:
Пример. В урне 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих шара. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В), при третьем–синий (событие С).
Замечания: 1.Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какие события можно считать первыми, вторыми и т.д.
2.Независимость событий взаимна: если не зависит от , то и не зависит от .
7.Формула вероятности произведения нескольких независимых событий:
,
Пример 1.Вероятности появления каждого из трех событий равны: Найти вероятность появления только одного из этих событий.
Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий равны: Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Событие – попадание первым орудием, – попадание вторым орудием, А3 – попадание третьим орудием. . Прямое событие
Обратное событие (не попал ни разу) определится следующей алгеброй
и вероятностями
Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попал в цель хотя бы один раз. Пусть событие – при – выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз.
Вывод: стрелок должен произвести не менее пяти выстрелов.