- •Наблюдаемые явления (результат испытаний)
- •Алгебра событий
- •Диаграммы Эйлера-Венна
- •Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула вероятности гипотез
- •Формула Бернулли
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Случайные одномерные величины
- •Распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •2.Распределение Пуассона
- •Основные формулы комбинаторики, используемые для определения вероятностей алгебры событий
- •Функция (интегральный закон) распределения с.В.
- •Плотность вероятности (дифференциальный закон) распределения непрерывной с.В.
- •Числовые характеристики распределения с.В.
- •Математическое (безусловное) ожидание с.В.
- •Дисперсия (безусловная) с.В.
- •5.Квантили распределения
- •Нормальное (Гауссово) распределение
- •Функция Лапласа
- •Равномерное (равновероятное, прямоугольное)
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Распределение χ2
- •Двумерные с.В. («проклятие размерности»)
- •Свойства
- •Условные математические ожидания (регрессии)
- •II. Математическая статистика
- •Построение эмпирической (статистической) функция распределения
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик
- •Математического ожидания и дисперсии
- •Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения
- •Методы оценки параметров известного распределения
- •1.Метод моментов (Пирсона)
- •2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)
- •Парная линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Коэффициент детерминации регрессий
Построение эмпирической (статистической) функция распределения
Вероятность - неслучайная величина
- неслучайная функция.
В статистике частота - с.в.
Сходимость частоты по вероятности к вероятности:
- случайная функция,
где - объем выборки, - число значений наблюдаемой выборки < .
Свойства эмпирической функции распределения
1) ;
2) - неубывающая функция;
3) если - наименьшая варианта, ;
4)если - наибольшая варианта, .
Пример. Построим эмпирическую функцию распределения для данного вариационного ряда:
2 |
6 |
10 |
|
12 |
18 |
30 |
|
0,2 |
0,3 |
0,5 |
;
Пример. Построение полигона для следующего вариационного ряда:
1,5 |
3,5 |
5,5 |
7,5 |
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
Полигон Гистограмма
Пример. Построим гистограмму для выборки. Разбиваем интервал , в котором находятся все наблюдаемые значения, на несколько интервалов с шагом . В общем случае может быть различным. Подсчитываем - число значений выборки, попавших в - ый интервал (в случае попадания на границу интервала относят по влево и вправо). Подсчитываем частоты с.в. в -ом интервале: . Строим прямоугольники, у которых высоты равны ; а площади равны .
Проверяем гипотезу о виде плотности распределения вероятностей (критерий Пирсона χ2).
Для проверки гипотезы о виде интегральной функции распределения – используют критерии Романовского, Ястремского, Колмогорова.
Первым и необходимым этапом построения эмпирической функции распределения, гистограммы и расчета выборочных числовых характеристик распределения является обеспечение однородности выборки (устранение аномальных наблюдений).
Под аномальными наблюдениями понимают те отдельные наблюдения, которые не отвечают потенциальным возможностям исследуемой экономической (социально-экономической) системы и которые, оставаясь в выборке, оказывают существенное влияние на статистические характеристики выборки.
Возможные причины: ошибки при агрегировании и дезагрегировании экономических показателей, при передаче, при записи информации и т.д.
За показатель ошибочности отдельного наблюдения принимают значения его отклонения от остальных наблюдений: методы Ирвина, проверки разностей средних уровней, Фостера – Стьюдента, простой скользящей средней и экспоненциального сглаживания.
Методы обеспечения однородности обычно используют распределение.
Наибольшее сомнение обычно вызывают несколько крайних значений вариационного ряда (левая и правая варианты).
Статистические оценки параметров распределения
Оценка математического ожидания (выборочной средней):
Неслучайное математическое ожидание: - генеральная средняя
С.в. - оценка матожидания - выборочная средняя
, где частота отдельных значений
Так как
Оценка выборочной дисперсии:
- стандарт (выборочное стандартное –среднеквадратическое отклонение).
Удобная формула оценки дисперсии через оценку второго начального момента
Аналогично рассчитываются и другие выборочные оценки распределения