- •Наблюдаемые явления (результат испытаний)
- •Алгебра событий
- •Диаграммы Эйлера-Венна
- •Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула вероятности гипотез
- •Формула Бернулли
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Случайные одномерные величины
- •Распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •2.Распределение Пуассона
- •Основные формулы комбинаторики, используемые для определения вероятностей алгебры событий
- •Функция (интегральный закон) распределения с.В.
- •Плотность вероятности (дифференциальный закон) распределения непрерывной с.В.
- •Числовые характеристики распределения с.В.
- •Математическое (безусловное) ожидание с.В.
- •Дисперсия (безусловная) с.В.
- •5.Квантили распределения
- •Нормальное (Гауссово) распределение
- •Функция Лапласа
- •Равномерное (равновероятное, прямоугольное)
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Распределение χ2
- •Двумерные с.В. («проклятие размерности»)
- •Свойства
- •Условные математические ожидания (регрессии)
- •II. Математическая статистика
- •Построение эмпирической (статистической) функция распределения
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик
- •Математического ожидания и дисперсии
- •Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения
- •Методы оценки параметров известного распределения
- •1.Метод моментов (Пирсона)
- •2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)
- •Парная линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Коэффициент детерминации регрессий
Формула Бернулли
Часто практике соответствует схема независимых испытаний Бернулли: проводятся испытания, в которых вероятность появления события («успеха») одна и та же, а исходы независимы друг от друга.
Задача: определить вероятность того, что при испытаниях событие произойдет раз (не произойдет раз). При этом не требуется, чтобы событие повторялось ровно раз в определенной последовательности. Например, при один «успех» может быть реализован следующим образом .
Для общего случая вероятность «успехов» из испытаний равна
где - число сочетаний из по ,
Пример. Вероятность того, что операционные расходы фирмы в течение 1 месяца не превысят установленный бюджет, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 месяцев операционные расходы в течение 4-х месяцев из них не превысят норму. Замечание. Формула Бернулли требует больших вычислений при больших значениях .
Локальная формула Лапласа
Используется в схеме испытаний Бернулли для более простого асимптотического определения вероятности успехов из – испытаний, если где нормированная и центрированная случайная (стандартная) величина, функция табулирована.
Пример. Найти вероятность того, что событие появится ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность события в каждом испытании равна 0,2.
Интегральная формула Лапласа
Имеем вновь схему испытаний Бернулли, но требуется вычислить вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз (не менее и не более раз). Эта задача распространена в прикладных вопросах теории вероятностей:
где - табулированная функция.
Пример. В страховой компании 10 000 клиентов. Страховой взнос – 2 000 руб. Вероятность страхового случая Страховая выплата – 200 000 руб. Определить размер прибыли стразовой компании с вероятностью
Прибыль млн. руб., где - число страховых случаев. Найдем такое , чтобы. .
Из таблицы найдем при . из таблиц . Окончательно млн. руб.
Случайные одномерные величины
случайные события, случайные величины (с.в.)
значения (в том числе и отрицательные) с.в. на числовой оси.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, априори неизвестное и независящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
С.в. может быть непрерывной (аналоговой) или дискретной (прерывистой).
Пример непрерывной с.в.: расстояние, которое пролетает снаряд из орудия, зависит от большого количества факторов (ветра, t0, угла прицела, изменений количества и состояния пороха и т.д.), точности измерений (шаги, метры, микроны и т.д.). Имеет место и «эллипс» рассеяния (влево-вправо).
Непрерывная с.в. имеет бесконечное число значений и несчетна. Вероятность отдельного конкретного значения случайной величины равна 0 (но это событие возможно). Можно говорить о вероятности диапазона значений непрерывной с.в.
Дискретная с.в. может быть конечной или бесконечной, но она счетна (ей можно поставить в соответствие натуральный ряд чисел).
Примеры дискретной случайной величины:
1.Число родившихся мальчиков из 100 новорожденных случайно: 0, 1, 2, 3, ... 100. Однако оно всегда дискретно и устойчиво больше, чем число родившихся девочек. С возрастом соотношение выравнивается, затем становится меньше.
2. Вероятность числа «успехов» в схеме Бернулли.
Характеристики с.в.: 1.Графики, таблицы.
2.Аналитические функции (интегральная и дифференциальная функция распределения), функционалы от них (числовые характеристики), квантили.