Тема 7. Элементы квантовой механики

1. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L на первом энергетическом уровне. На сколько вероятность нахождения частицы в области, ограниченной координатами x₁ = 0 и x₂ = L/4 больше, чем в области от x₃ = 3L/4 и x₄ = L? Провести соответствующие расчеты. Построить график зависимости |_n(x)|² для первого энергетического уровня и указать рассматриваемые интервалы на чертеже.

2. Неопределенность координаты электрона, движущегося со скоростью 210⁶ м/с, составляет x = 1 мкм. Можно ли не использовать квантовую механику при рассмотрении состояния электрона?

3. Можно ли обнаружить волновые свойства электрона, ускоренного разностью потенциалов 10 кВ на щели шириной 0,1 нм? Ответ обосновать.

4. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L на третьем энергетическом уровне. Оценить вероятность нахождения частицы в области, ограниченной координатами x₁ = L/4 и x₂ = L/2. Построить график зависимости |_n(x)|² для n = 3 и указать рассматриваемый интервал на чертеже.

5. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L на первом энергетическом уровне. На сколько вероятность нахождения частицы в области, ограниченной координатами x₁ = 0 и x₂ = L/4 меньше, чем в области от x₃ = 3L/8 и x₄ = 5L/8? Провести соответствующие расчеты. Построить график зависимости |_n(x)|² для первого энергетического уровня и указать рассматриваемые интервалы на чертеже.

6. Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопределенности ее координаты, соответствующей относительной неопределенности импульса, равной 1%?

7. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L на втором энергетическом уровне. Оценить вероятность нахождения частицы в области, ограниченной координатами x₁ = L/4 и x₂ = 5L/8. Построить график зависимости |_n(x)|² для n = 2 и указать рассматриваемый интервал на чертеже.

8. Частица находится в одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной L в возбужденном состоянии (n =2). Оценить, в каких точках интервала 0<x<L плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное значение.

9. Неопределенность импульса электрона р = 1,0510^-28 кгм/с. Можно ли не использовать квантовую механику при рассмотрении движения электрона в области с характерным размером 10 см?

10. Можно ли (и на чем) обнаружить волновые свойства электрона, ускоренного разностью потенциалов 1В ? Ответ обосновать.

11. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике шириной L = 10^-10 м. В каких точках в интервале (0< x < L) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.

12. Какова максимальная неопределенность импульса электрона, находящегося в атоме размером 0,6 нм?

13. Сравнить длины волн де Бройля электрона и протона, ускоренных одинаковой разностью потенциалов U = 1 кВ.

14. В одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной L находится в основном состоянии электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона в крайней трети ящика. Построить график зависимости |_n(x)|² для n = 1 и указать рассматриваемый интервал на чертеже.

15. Какова неопределенность энергии электрона, если неопределенность координаты составляет 0,3 нм?

16. Определить дебройлевскую длину волны электрона, если его кинетическая энергия равна 1 кэВ.

17. В одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной L находится в основном состоянии электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона в средней трети ящика. Построить график зависимости |_n(x)|² для n = 1 и указать рассматриваемый интервал на чертеже.

18. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике длиной L. В каких точках в интервале от 0 до L плотности вероятности нахождения частицы на втором и четвертом энергетических уровнях одинаковы? Решение пояснить графически.

19. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике длиной L = 10^-10 м. В каких точках в интервале от 0 до L плотность вероятности нахождения частицы на третьем энергетическом уровне будет максимальной? Найти величину этой плотности вероятности.

20. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике длиной L на втором энергетическом уровне. На сколько вероятность нахождения частицы в области, ограниченной координатами x₁ =0; x₂ = L/4 больше, чем в области x₃ = L/2; x₄ = 3L/4?

21. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике длиной L на втором энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы в интервале от 0 до L/2.

22. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике длиной L на третьем энергетическом уровне. Сравнить плотности вероятности обнаружения частицы в точках с координатами x₁ =0; x₂ = L/3; x₃ =2 L/3; x₄ = L.

23. Постоянная кристаллической решетки равна 0,3 нм. Надо ли учитывать волновые свойства электрона, ускоренного разностью потенциалов в 50 В?

24. Какова относительная неопределенность импульса электрона в атоме (размер 0,3 нм), если его скорость 2 Мм/с?

23. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике длиной L. На сколько вероятность нахождения частицы в интервале от 0 до L/4 на первом энергетическом уровне отличается от вероятности нахождения частицы в том же интервале на втором энергетическом уровне?