2.4.9. Сбалансированный рост (ср)

Под СР понимается такой процесс экономического развития, при котором показатели, характеризующие экономику,растут с постоянным темпом. Применительно к рассматриваемой модели это означает, что с постоянным темпом должны возрастать величины Y, K, I, C, L. При сделанном предположении число занятых L будет обладать таким свойством. Обозначим через n₁ … n₄ темпы роста первых четырех показателей и сохраним их для темпа роста рабочей силы.

(19)

Покажем, что тогда темпы роста всех показателей должны совпадать. В силу (4) и (19) получаем, что n₂ = n₃ и т.д. Из (15) и (19) => (20). После дифференцирования по времени получим n₂ = n₄. Отсюда все совпадает, q.e.d. Осталось показать, что n₁ = … = n₄ равны n.

Используя лин. однородность производственной функции, получаем ее монотонное возрастание по каждому аргементу.

Т.к. n₁ = n₂, , это тождество может выполняться = const, q.e.d.

При СР темпы изменения всех основных показателей должны быть одинаковы => при СР норма накопления и фондовооруженность должны быть постоянны. Траектория СР отвечает (18). Найдя решение, можно определить основные макроэкономические переменные, соответствующие СР.

(21)

Покажем, что при любой рассматриваемой модели для каждой фиксированной нормы накопления существует единственная траектория СР. Постоянное решение (18), имеющее вид при t=const, соответствующее СР, обращает левую часть уравнения в 0, т.е. является корнем уравнения

(22)

Покажем, что при заданном постоянном значении нормы накопления уравнение (22) имеет в области решение(только эти значения имеют экономический смысл). Для этого исследуем свойства функции

Т.к. f(0) = 0, то g(0) = 0 (23) . В силу (12) в некоторой правосторонней окрестности . Из (11) при достаточно больших n. Сопоставляя полученные результаты, приходим к тому, что в некоторой точке обращается в 0. Т.к. , то и при , т.е. строго вогнутая функция. Тогда она не будет иметь положительных нулей, отличноых от . Возможный график изображен на рис.3. При фиксированных (22) имеет в области решение, т.е. в рассматриваемой модели существует единственная траектория СР.

Замечание Чем больше , тем больше на траектории СР.

g

0

рис. 3

2.4.10 Асимптотическое поведение траектории в модели Солоу

Режим СР - это одно из возможных траекторий развития экономической системы. Если данная модель используется для описания реальной экономики, то каждая конкрентная траектория будет определяться как решение (18) с начальным условием - значение фондовооруженности в начальный момент времени и не обязятельно является траекторией СР (ТСР). ТСР играют важную роль среди множества траекторий рассматриваемых моделей: каждая траектория с постоянной нормой накопления по прошествии достаточно большого времени неограниченно приближается к ТСР => режим СР может быть использован для расчетов экономических показателей при достаточно больших значениях времени, не зависящих от начальных значений этих показателей. С математической точки зрения описываемое свойство траекторий выглядит следующим образом: пусть - некоторое постоянное значение нормы накопления, - фондовооруженность на соответствующей этой норме ТСР. - решение (18) с начальным условием . Тогда верно: (24). Докажем это. Пусть . Ранее выяснили, что правая часть (18) принимает в области положительные значения => ,будет возрастать, пока не покинет область . Действительно, допустив противное, будем иметь при некотором t­­₁>0 => через точку проходит по меньшей мере 2 решения и уравнения (18). В силу свойств правая часть уравнения удовлетворяет условию теоремы о существовании и единственности решения ОДУ => - монотонно возрастающая ограниченная функция. По теореме Вейерштрасса (24) =. В силу (18) . Из существования этого предела => что он равен 0. Убедимся при использовании формулы конечных приращений. Т.о. наряду с является корнем (22). Это уравнение имеет в области единственное решение т.е. (24) верно. - аналогично, только функция убывает и ограничена снизу, т.е. , т.е. (24) всегда верно. Из полученных результатов => , что построенное решение в (18) является устойчивым по Ляпунову, а => и асимптотически устойчиво. Доказали более сильное свойство, т.к. последнее означает сходимость к только тех траекторий, начальные значения котоых достаточно близки к .

Рассмотрим, когда произв. F(K,L) - функция Кобба-Дугласа, () => (1P) :

Очевидно , где отвечает СР значения фондовооружения, являющегося корнем уравнения . Совпадают для линейно-однородной произвольной производственной функции.