- •Раздзел 4. Інтэгральнае злічэнне. §4.1. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •1° Азначэнне нявызначанага інтэграла.
- •Тэарэма 1 (пра агульны выгляд першаіснай). Няхай функцыя ёсць першаісная для на х. Функцыя ёсць таксама першаісная для , калі і толькі калі .
- •2° Уласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •§4.2. Асноўныя метады інтэгравання.
- •1º. Метад падстановы.
- •Тэарэма 1. Калі функцыя мае першаісную на прамежку т, а функцыя ёсць дыферэнцавальная на х, прычым , то
- •2º. Метад інтэгравання часткамі.
- •§4.4. Метад рацыяналізацыі.
- •1º. Інтэграванне дробава-лінейнай ірацыянальнасці.
- •2º. Інтэграванне біномнага дыферэнцыяла.
- •3º. Інтэграванне рацыянальна-трыганаметрычных функцый.
- •4º. Інтэграванне квадратовых ірацыянальнасцяў.
- •§4.5. Азначэнне і ўмовы існавання вызначанага інтэграла.
- •Прыклад 1. Вылічыць
- •Прыклад 2. Вылічыць паводле азначэння .
- •Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі.
- •Крытэр інтэгравальнасці. Для таго каб функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку , была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове
- •§4.6. Класы інтэгравальных функцый.
- •Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.
- •§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.
- •Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што
- •1º. Формула Ньютана-Ляйбніца.
- •2º. Замена зменнай .
- •3º. Інтэграванне часткамі.
- •4º. Інтэграванне цотнай, няцотнай і перыядычнай функцый.
- •1º.Плошча плоскай фігуры.
- •Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .
- •Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры
- •2º. Даўжыня крывой.
- •Прыклад 3. Вылічыць даўжыню адной аркі цыклоіды (акружына радыюса коціцца па восі абцысаў).
- •3º. Аб’ём цела авароту.
- •Прыклад 5. Вылічыць аб’ём тора, г. Зн. Цела, якое атрымліваецца ад авароту круга радыюса вакол восі, што ляжыць у плоскасці гэтага круга на адлегласці ад яго цэнтра.
- •§4.13. Інтэграл па бясконцым прамежку (ні-1).
- •Прыклад 1. Вылічыць .
- •Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Няхай функцыя а і няхай . Тады:
- •Калі ёсць збежны і , то – таксама збежны;
- •2) Калі ёсць разбежны і , то – разбежны.
- •Прыклады. А) збежны, бо .
- •§4.15. Умоўная збежнасць ні-1.
- •Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную на . Няхай функцыя ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на і . Тады інтэграл – збежны.
- •Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя ёсць непарыўная на і – збежны, а функцыя абмежаваная і яе вытворная – непарыўная і не мяняе знаку на , то – збежны.
- •Прыклад 1. Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .
- •Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля на збежнасць.
- •§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.
Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі.
Напрыклад, функцыя Дырыхле на адрэзку абмежаваная, але неінтэгравальная, бо пры рацыянальных , а пры ірацыянальных .
Няхай абмежаваная на , і – некаторы падзел адрэзка . Няхай
.(Ці існуюць?)
Сумы называюцца адпаведна ніжняй і верхняйсумамі Дарбу для дадзенага падзелу .
Паколькі , то , а тым самым , г.зн. .
|
Крытэр інтэгравальнасці. Для таго каб функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку , была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове
г.зн. .
Калі абазначыць так званае ваганне функцыі на адрэзку , то розніцу
называюць інтэгральным ваганнем функцыі на адрэзку .
Такім чынам, умова крытэра інтэгравальнасці ёсць
.
§4.6. Класы інтэгравальных функцый.
Згодна з тэарэмай Кантара, калі функцыя ёсць непарыўная на адрэзку , то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку, г.зн.
. (1)
Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.
□ Няхай функцыя ёсць непарыўная на адрэзку . Паводле тэарэмы Кантара яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку, г.зн. мае месца (1).
Няхай – такі падзел адрэзка , што яго дробнасць . Адпаведна другой тэарэме Ваерштраса
.
Паколькі , а , то , а таму . Маем
,г.зн. .
Згодна з крытэрам інтэгравальнасці функцыя ёсць інтэгравальная на . ■
Можна даказаць праўдзівасць наступных тэарэм:
Тэарэма 2 (Інтэгравальнасць кавалкава-непарыўнай функцыі). Калі функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку, ёсць непарыўная ва ўсіх пунктах гэтага адрэзку акрамя іх канечнай колькасці (г.зн ёсць кавалкава-непарыўная), то яна інтэгравальная на гэтым адрэзку.
Тэарэма 3 (Інтэгравальнасць манатоннай функцыі). Калі функцыя вызначана, абмежаваная і манатонная на адрэзку, то яна інтэгравальная на гэтым адрэзку.
Тэарэма 4 (Інтэгравальнасць кампазіцыі). Калі функцыя інтэгравальная на адрэзку і , а функцыя непарыўная на , то складаная функцыя ёсць інтэгравальная на .
§4.7. Уласцівасці вызначанага інтэграла.
1º. – натуральнае пашырэнне паняцця інтэграла на адрэзак нулявой даўжыні.
2º. – тут .
3º. Калі функцыі і інтэгравальныя на адрэзку , то для кожных лікаў α і β функцыя таксама інтэгравальная на , прычым .
□ Доказ вынікае з роўнасці для інтэгральных сумаў
Заўвага. Калі функцыі і інтэгравальныя на адрэзку, то і функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.
4º. Калі функцыя інтэгравальная на , то яна інтэгравальная на .
□ Няхай – адвольны падзел адрэзка . Разгледзім такі падзел адрэзка , каб на адрэзку падзел меў тыя ж пункты падзелу, што і і пункты
і з’яўляліся пунктамі падзелу , прычым . Адзначым, што , паколькі ўсе складнікі неадмоўныя. Такім чынам, маем
(1)
Паколькі інтэгравальная на , то пры і з (1) маем (). Згодна з крытэрам інтэгравальнасці інтэгравальная на . ■
5º. (адытыўнасць інтэграла) Калі функцыя інтэгравальная на , то
.
□ Няхай і з’яўляюцца адпаведна падзеламі адрэзкаў і , а тады ёсць падзел адрэзка . Калі ёсць выбарка з падзелу , а – выбарка з падзелу , то ёсць выбарка з адрэзку . З роўнасці , дзе і – інтэгральныя сумы функцыі адпаведна на адрэзках і , а – інтэгральная сума функцыі на адрэзку , вынікае патрэбнае сцверджанне. ■
Вынік. Калі функцыя інтэгравальная на ,
то .