- •Раздзел 4. Інтэгральнае злічэнне. §4.1. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •1° Азначэнне нявызначанага інтэграла.
- •Тэарэма 1 (пра агульны выгляд першаіснай). Няхай функцыя ёсць першаісная для на х. Функцыя ёсць таксама першаісная для , калі і толькі калі .
- •2° Уласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •§4.2. Асноўныя метады інтэгравання.
- •1º. Метад падстановы.
- •Тэарэма 1. Калі функцыя мае першаісную на прамежку т, а функцыя ёсць дыферэнцавальная на х, прычым , то
- •2º. Метад інтэгравання часткамі.
- •§4.4. Метад рацыяналізацыі.
- •1º. Інтэграванне дробава-лінейнай ірацыянальнасці.
- •2º. Інтэграванне біномнага дыферэнцыяла.
- •3º. Інтэграванне рацыянальна-трыганаметрычных функцый.
- •4º. Інтэграванне квадратовых ірацыянальнасцяў.
- •§4.5. Азначэнне і ўмовы існавання вызначанага інтэграла.
- •Прыклад 1. Вылічыць
- •Прыклад 2. Вылічыць паводле азначэння .
- •Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі.
- •Крытэр інтэгравальнасці. Для таго каб функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку , была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове
- •§4.6. Класы інтэгравальных функцый.
- •Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.
- •§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.
- •Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што
- •1º. Формула Ньютана-Ляйбніца.
- •2º. Замена зменнай .
- •3º. Інтэграванне часткамі.
- •4º. Інтэграванне цотнай, няцотнай і перыядычнай функцый.
- •1º.Плошча плоскай фігуры.
- •Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .
- •Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры
- •2º. Даўжыня крывой.
- •Прыклад 3. Вылічыць даўжыню адной аркі цыклоіды (акружына радыюса коціцца па восі абцысаў).
- •3º. Аб’ём цела авароту.
- •Прыклад 5. Вылічыць аб’ём тора, г. Зн. Цела, якое атрымліваецца ад авароту круга радыюса вакол восі, што ляжыць у плоскасці гэтага круга на адлегласці ад яго цэнтра.
- •§4.13. Інтэграл па бясконцым прамежку (ні-1).
- •Прыклад 1. Вылічыць .
- •Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Няхай функцыя а і няхай . Тады:
- •Калі ёсць збежны і , то – таксама збежны;
- •2) Калі ёсць разбежны і , то – разбежны.
- •Прыклады. А) збежны, бо .
- •§4.15. Умоўная збежнасць ні-1.
- •Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную на . Няхай функцыя ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на і . Тады інтэграл – збежны.
- •Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя ёсць непарыўная на і – збежны, а функцыя абмежаваная і яе вытворная – непарыўная і не мяняе знаку на , то – збежны.
- •Прыклад 1. Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .
- •Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля на збежнасць.
- •§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.
§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.
1º. Калі функцыя інтэгравальная на і , то .
□ Паколькі пры кожным падзеле адрэзка і кожнай выбарцы мае месца , то пасля пераходу да ліміту пры атрымаем патрэбнае сцверджанне. ■
Вынік (манатоннасць інтэграла). Калі функцыі і інтэгравальныя на і , то .
□ Для функцыі праўдзяцца ўмовы з 1º. Таму
,
адкуль атрымліваецца патрэбная няроўнасць. ■
Заўвага. Калі функцыя інтэгравальная на , і існуе пункт , а функцыя непарыўная ў пункце , то .
2º. (інтэгравальнасць модуля) Калі функцыя інтэгравальная на , то функцыя таксама інтэгравальная на , прычым .
□ Разгледзім функцыю – непарыўную на ўсёй лікавай прамой. Таму функцыя інтэгравальная на згодна з тэарэмаю пра інтэгравальнасць складанай функцыі. З няроўнасці
на падставе ўласцівасці манатоннасці інтэграла і з інтэгравальнасці функцый маем
. ■
Заўвага. Калі функцыя інтэгравальная на адрэзку з канцамі і (г.зн. або , або ), то праўдзіцца няроўнасць .
3º. Калі функцыя інтэгравальная і абмежаваная на , г.зн. , то .
□ З інтэгравальнасці модуля і ўласцівассці манатоннасці інтэграла вынікае
. ■
§4.9. Інтэгральныя тэарэмы пра пасярэднія значэнні.
Тэарэма (Абагульненая тэарэма пра пасярэдняе значэнне інтэгравальнай функцыі). Калі функцыі і ёсць інтэгравальныя на адрэзку , а функцыя не змяняе знаку на , то існуе лік , такі, што
. (1)
□ Няхай . Паколькі інтэгравальная на , то яна абмежаваная на , а г. зн. . Пры гэтым маем . Адсюль, паколькі , маем
Паколькі ёсць інтэгравальная на , то згодна з уласцівасцю манатоннасці інтэграла маем
. (2)
Калі пры гэтым , то таксама роўны нулю і роўнасць (1) праўдзіцца пры кожным .
Калі ж , то , і няроўнасць (2) можна падзяліць на гэты
інтэграл. Атрымаем . Абазначым . З гэтай роўнасці і атрымліваецца (1).
Калі ж , то для функцыі мае месца (1), г. зн.
.
Дамнажаючы абедзве часткі гэтай роўнасці на –1, атрымаем (1). ■
Вынік 1. (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне інтэгравальнай функцыі). Калі функцыя ёсць інтэгравальная на адрэзку , то існуе лік , такі, што
. (2)
□ Калі ў тэарэме 1 узяць , то атрымаем ■
Заўвага. Лік называецца сярэднім значэннем функцыі на .
Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што
□ Для функцыі f згодна з вынікам 1 мае месца формула (2), дзе . Паколькі f непарыўная на , то, на падставе другой тэарэмы Ваерштраса , дзе . Паколькі , то згодна з тэарэмаю Бальцана-Кашы аб прамежкавым значэнні непарыўнай функцыі . Падстаўляючы ў (1) замест значэнне , атрымаем (3). ■
Заўвага. Мы даказалі, што калі непарыўная на адрэзку , то – сярэдняе значэне функцыі на адрэзку .
§4.10. Інтэграл са зменнаю верхняю мяжою.
Калі функцыя ёсць інтэгравальная на , то існуе інтэграл
, (1)
які называюць інтэгралам са зменнаю верхняю мяжою. Разгледзім яго ўласцівасці.
Тэарэма (Непарыўнасць інтэграла са зменнаю верхняю мяжою). Калі функцыя ёсць інтэгравальная на , то функцыя ёсць непарыўная на .
□ Няхай і . Тады
.
Адкуль . Гэта азначае, што , г. зн. ёсць непарыўная на . ■
Тэарэма Барроў (Дыферэнцавальнасць інтэграла са зменнаю верхняю мяжою). Калі функцыя ёсць непарыўная на , то функцыя ёсць дыферэнцавальная на , прычым .
□ Як і ў папярэдняй тэарэме , , . Далей маем
■
Вынік. Калі функцыя ёсць непарыўная на , то на гэтым адрэзку мае першаісную, якою з’яўляецца .
□ Сапраўды, .■
§4.11. Метады вылічэння вызначанага інтэграла.