Прыклад 5. Вылічыць аб’ём тора, г. Зн. Цела, якое атрымліваецца ад авароту круга радыюса вакол восі, што ляжыць у плоскасці гэтага круга на адлегласці ад яго цэнтра.

► Паколькі раўнанне акружыны , то

. Маем

Апошні інтэграл роўны плошчы чвэрці круга з радыюсам . Таму .◄

§4.13. Інтэграл па бясконцым прамежку (ні-1).

Няхай функцыя ёсць вызначаная і інтэгравальная на адрэзку . Пры гэтым ёсць функцыя .

def. Ліміт называюць неўласцівым інтэгралам ад функцыі на бясконцым прамежку , або неўласцівым інтэгралам першага роду (НІ-1) і абазначаюць

. (1)

Калі існуе канечны ліміт (1), то НІ-1 называецца збежным, а функцыя – інтэгравальнаю ў неўласцівым сэнсе на прамежку . Калі ж ліміт (1) не існуе, то НІ-1 называецца разбежным, а калі ён пры гэтым ёсць бясконца вялікі, то пішуць .

Неўласцівы інтэграл па бясконцым прамежку азначаецца аналагічна

,

а калі ён разглядаецца на ўсёй лікавай прамой, то

,

прычым ліміт не залежыць ад таго, як і імкнуцца да і .

Калі , то НІ-1 выражае плошчу неабмежаванай фігуры

Прыклад 1. Вылічыць .

►

Такім чынам, пры інтэграл збежны, пры – разбежны.◄

На падставе ўласцівасцяў лімітаў і вызначаных інтэгралаў атрымліваюцца наступныя ўласцівасці НІ-1.

1º. Калі збягаюцца інтэгралы і , то збягаецца інтэ-грал , прычым

2º. Калі функцыя непарыўная і – яе непарыўная перша-існая, то ёсць збежны, калі і толькі калі існуе , прычым

.

Гэта вынікае з формулы Ньютана-Ляйбніца .

3º. Калі ёсць збежны, то таксама збежны, прычым

.

Заўвага. Калі , то збежны, калі і толькі калі .

4º. Калі функцыя непарыўная на , а функцыя непарыўна дыферэнцавальная на , манатонная і задавальняе умовы , то праўдзіцца формула замены зменнай у НІ-1:

(пры умове існавання прынамсі аднаго з гэтых інтэгралаў).

Прыклад 2.

.

5º. Збежнасць НІ-1 раўназначная існаванню ліміта функцыі

. (2)

Адпаведна крытэру Кашы існавання ліміту функцыі маем:

існуе, калі і толькі калі .

З улікам (2) атрымаем .

Такім чынам, мы атрымалі

Крытэр Кашы (збежнасці НІ-1). Для таго каб НІ-1 быў збежным, неабходна і дастаткова, каб .

§4.14. Абсалютная збежнасць (НІ-1).

Тэарэма 1 (прыкмета параўнання). Няхай і ёсць збежны, то таксама збежны.

□ Паколькі ёсць збежны, то для яго мае месца крытэр Кашы

.

Калі , то . Калі ж , то . Такім чынам, для функцыі выконваюцца ўмовы крытэра Кашы, а таму – збежны. ■

Вынік. (дастатковая ўмова разбежнасці) Калі і ёсць разбежны, то таксама разбежны.

□ Сапраўды, калі дапусціць адваротнае, г. зн. інтэграл – збежны, то на падставе тэарэмы 1 павінен быць збежным ?!? ■

Заўвага 1. Калі няроўнасць выконваецца толькі , то тэарэма 1 таксама праўдзівая.

Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Няхай функцыя а і няхай . Тады:

1. Калі ёсць збежны і , то – таксама збежны;

2) Калі ёсць разбежны і , то – разбежны.

□ 1). Паколькі – ліміт функцыі , то . Паколькі – абмежаваная, то . Гэта значыць, што . Паколькі , то . З тэарэмы 1 і заўвагі 1 вынікае праўдзівасць сцверджання 1).

2). Калі , то , а гэта азначае, што

(гэта ёсць адмаўленне для )

.

З апошняй няроўнасці атрымліваем . Такім чынам, . Паколькі – разбежны, то таксама разбежны (), бо інакш – збежны. На падставе выніка з тэарэмы 1 атрымліваем праўдзівасць сцверджання 2). ■

Заўвага 2. Калі ,г.зн. і – функцыі аднаго парадку, то абодва інтэгралы або збежныя, або разбежныя адначасова.

Вынік 1. Калі і , то і збежныя або разбежныя адначасова.

Вынік 2. Калі , то збежны пры і разбежны пры .