1º. Формула Ньютана-Ляйбніца.

Тэарэма 1 (асноўная тэарэма інтэгральнага злічэння). Калі функцыя ёсць непарыўная на адрэзку і калі – яе першаісная на гэтым адрэзку, то праўдзіцца формула , якую называюць формулаю Ньютана-Ляйбніца.

□ Адпаведна выніку з тэарэмы Барроў адной з першаісных для функцыі ёсць . З формулы, якая падае агульны выгляд першаісных, вынікае . Беручы , атрымаем , адкуль . Такім чынам, . Гэтая роўнасць праўдзіцца , а таму пры маем . ■

Заўвага 1. Формулу Ньютана-Ляйбніца запісваюць таксама ў выглядзе .

Прыклад 1. . Ці правільна? Не, функцыя неабмежаваная ў пункце , а таму неінтэгравальная.

Заўвага 2. Для функцыі , калі непарыўная на , і – дыферэнцавальныя на , то мае месца формула .

Пакажам на прыкладах, як вызначаны інтэграл можна скарыстаць пры вылічэнні некаторых лімітаў.

Прыклад 2. Вылічыць .

►Абазначым . Выраз можна разглядаць як інтэгральную суму для функцыі на адрэзку з падзелам і выбаркаю . Пры гэтым , а таму

, калі . Паколькі – непарыўная на , то ◄

Прыклад 3. Вылічыць .

►Выраз – інтэгральная сума для функцыі на адрэзку , а таму . ◄

2º. Замена зменнай .

Тэарэма 2. Няхай функцыя ёсць непарыўная на прамежку , а функцыя –непарыўна дыферэнцавальная на адрэзку , прычым і , то

, (1)

або .

□ Калі – першаісная для функцыі , г. зн. , то, згодна з формулаю Ньютана-Ляйбніца,

. (2)

Паколькі , то функцыя ёсць першаісная для функцыі . Карыстаючыся Формулаю Ньютана-Ляйбніца і ўлічваючы ўмову , атрымаем

. (3)

З роўнасцяў (2) і (3) вынікае (1). ■

Заўвага. Калі формулаю (1) кіруюцца справа налева, то пішуць

.

Прыклад 3. Вылічыць .

►1) 

. ◄

3º. Інтэграванне часткамі.

Тэарэма 3.Калі функцыі і маюць на адрэзку непарыўныя вытворныя, то праўдзіцца формула інтэгравання часткамі .

□ З роўнасці маем . Інтэгруючы апошнюю роўнасць на , маем , што раўназначна формуле, якую трэба было даказаць. ■

Прыклад 7. Вылічыць .

► Карыстаючыся формулаю інтэгравання часткамі, маем .◄

4º. Інтэграванне цотнай, няцотнай і перыядычнай функцый.

1) Няхай функцыя ёсць непарыўная на адрэзку і , г. зн. – няцотная. Тады . Такім чынам, .

2) Калі ж – цотная, г. зн. , то . Таму .

3) Калі ёсць непарыўная на і перыядычная з перыядам Т то для кожнага значэння праўдзіцца роўнасць .

►Сапраўды, . У апошнім інтэграле зробім замену . Падстаўляючы ў папярэдні выраз, атрымаем . ◄

§4.12. Дастасаванні вызначанага інтэграла.

1º.Плошча плоскай фігуры.

Адвольнае абмежаванае мноства пунктаў плоскасці будзем называць плоскаю фігурай.

1.1) Плошча крывалінейнай трапецыі.

1.1) Плоскую фігуру называюць крывалінейнаю трапецыяй.
Няхай ёсць падзел адрэзка з дробнасцю , а і – адпаведна верхняя і ніжняя сумы Дарбу.

З рысунка відаць, што , дзе – плошча крывалінейнай трапецыі . Паколькі згодна з крытэрам інтэгравальнасці функцыі , то і плошчу крывалінейнай трапецыі будзем лічыць роўнай значэнню гэтага інтэграла, г. зн. .

Калі плоская фігура задаецца ўмоваю то плошча гэтай фігуры роўная розніцы плошчаў крывалінейных трапецыяў і .

Таму .

Такім чынам, .

Зазначым, што гэтая формула застаецца праўдзіваю і ў тым выпадку, калі функцыі і не з’яўляюцца неадмоўнымі.

Сапраўды, калі то з абмежаванасці функцый і (Чаму?) вынікае існаванне такога ліку , што .

Паколькі выражае плошчу новай фігуры, якая атрымліваецца пры дапамозе паралельнага пераносу фігуры , то і плошча фігуры роўная гэтаму інтэгралу. Пры гэтым маем .