Глава 2. Практическая реализация методов вычисления показателей вариации

Приобретение практических навыков по измерению степени колеблемости отдельных значений признака от их средней характеристики является важной экономической задачей при оценке стабильности урожаев и устойчивости работы экономических систем.

Особенно важен этот вопрос в современных условиях хозяйствования.

В данной главе предлагается к освоению порядок исчисления основных обобщающих показателей вариации: дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации и др.

2.1. Техника расчёта показателей вариации

Одна и та же средняя может характеризовать совокупности, в которых размеры вариации признака существенно отличаются друг от друга. Проведём типовой расчёт показателей вариации по данным о работе трёх бригад, приведенным в табл. 11.

Как видно, средняя дневная выработка деталей в бригадах одинакова, хотя уровень средней во второй бригаде значительно меньше отличается от индивидуальных значений признака, чем в первой и третьей бригадах.

Таблица 11

Дневная выработка рабочих трёх бригад

Номер бригады	Число рабочих	Дневная выработка одним рабочим, шт.	Средняя дневная выработка одного рабочего, шт.
1	5	45,120,82,64,104	83
2	5	74,89,76,81,95	83
3	5	56,108,75,62,114	83

Для всесторонней характеристики приведенных рядов распределения вычислим показатели, определяющие меру и степень колеблемости признаков от их среднего значения.

Определим наиболее простую меру колеблемости - размах вариации, т.е. разность между максимальным и минимальным значениями варьирующего признака по формуле

R= х_max - x_min;

R₁ = 120 - 45 = 75 шт.;

R₂ = 95 - 74 = 21 шт.;

R₃ = 114 - 56 = 58 шт.

Величина R показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения. Показатель R выражается в тех же единицах измерения, что и варианты ряда.

Но размах вариации как показатель колеблемости имеет существенный недостаток. Его величина определяется двумя крайними значениями признака, в то время как колеблемость последнего в целом складывается из всех его значений. Поэтому размах вариации может в ряде случаев неправильно характеризовать колеблемость признака. Так, на большой посевной площади с равномерной в целом урожайностью размах вариации будет иметь значительный размер, хотя колеблемость урожайности в целом незначительна. Следовательно, размах вариации не отражает варьирование признака у основной массы единиц совокупности.

В связи с тем, что каждое индивидуальное значение признака отклоняется от средней на определенную величину, мерой вариации может служить средняя из отклонений каждой отдельной варианты от их средней. Такими показателями являются среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Рассмотрим вычисление перечисленных показателей (табл. 12.)

Таблица 12

Дневная выработка рабочих трёх бригад

Но-мер рабо-чего	Дневная выработка деталей отдельными рабочими, шт. (x)			Отклонение индивидуальных значений признака от средней (x-x)			Абсолютные индивидуальные отклонения от средней |x-x|			Квадраты отклонений индивидуальных значений от средней (x-x)^2
	Бригада №1	Бр.№2	Бр.№3	Бр. №1	Бр. №2	Бр. №3	Бр. №1	Бр. №2	Бр. №3	Бр. №1	Бр. №2	Бр. №3
1	45	74	56	-38	-9	-27	38	9	27	1444	81	729
2	120	89	108	37	6	25	37	6	25	1369	36	625
3	82	76	75	-1	-7	-8	1	7	8	1	49	64
4	64	81	62	-19	-2	-21	19	2	21	361	4	441
5	104	95	114	21	12	31	21	12	31	441	144	961
Итого	415	415	415				116	36	112	3616	314	2820
Средняя	83	83	83

Определим среднее линейное отклонение, которое представляет собой среднюю величину из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней.

Используя формулу (3), определим средние линейные отклонения для приведенных рядов распределений по бригадам:

;

Как видно из расчётов, среднее линейное отклонение дневной выработки во второй бригаде более чем в 3 раза меньше, чем в первой и третьей бригадах.

Недостаток данного показателя в том, что он вычисляется без учёта знака, поэтому в статистике чаще используются показатели дисперсии и средние квадратические отклонения, которые далее будут рассчитаны.

Дисперсия в данном случае будет определяться по формуле (6).

;

Дисперсия имеет большое значение в анализе. Однако в данном случае её применение как меры вариации не совсем удобно, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. Поэтому для измерения вариации вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле (7)

;

Исчисление дисперсии и среднего квадратического отклонения позволяет устранить недостаток среднего линейного отклонения, потому что любое число, положительное или отрицательное, возведенное в квадрат, будет числом положительным.

Вычисленные показатели наглядно показывают различную колеблемость дневной выработки отдельных рабочих в отдельных бригадах. Сопоставление этих показателей даёт возможность определять степень их однородности в отношении того или иного признака.

Чем меньше вычисленные показатели, тем совокупность более однородна, тем более типичной будет средняя величина.

В данном случае все вычисления подтверждают самую большую типичность средней для второй бригады и наименьшую степень типичности для первой бригады.

Показатели дисперсии, среднего квадратического отклонения не всегда бывают достаточными для характеристики колеблемости различных типов признака, они характеризуют абсолютный размер явлений. Так, дисперсию себестоимости единицы продукции нельзя сравнивать с дисперсией её производительности. Они измеряются различными типами величин – стоимостными и временными.

Для характеристики колеблемости всех видов признаков применяется универсальный относительный показатель – коэффициент вариации υ, который определяется отношением среднего квадратического отклонения к средней величине исследуемого ряда.

= .

Выражая его в процентах, различные абсолютные средние квадратические отклонения приводят к одному основанию и получают возможность сравнивать и оценивать колеблемость величин различных признаков.

При помощи вычисления коэффициента вариации (формула 11) возможно сравнение колеблемости в производительности труда групп рабочих, занятых производством различных видов продукции. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака и наоборот.

Для бригады №1: =

Для бригады №2: =

Для бригады №3: =

Это значит, что во второй бригаде среднее квадратическое отклонение составляет 9,55% от средней арифметической величины данного ряда, в первой - 32,4%, а в третьей – 28,6%.

Вычислим линейный коэффициент вариации, описываемый формулой (9):

_л = .

Для бригады №1: _л =

Для бригады №2: _л =

Для бригады №3: _л =

В данном случае определяется доля среднего линейного отклонения от среднего значения признака в ряду распределения.

Иногда используется самый простой относительный показатель – коэффициент осцилляции, вычисляемый по формуле (10):

_R = .

Для бригады №1: _л =

Для бригады №2: _л =

Для бригады №3: _л =

Среди вычисленных показателей вариации наиболее распространенным является коэффициент вариации. Он более точно, чем другие характеризует различие колеблемости признаков.