1.5. Взаимосвязи показателей вариации

Между показателями вариации (размахом R, средней величиной , средним линейным и средним квадратическим отклонением σ) существуют определенные соотношения, позволяющие судить о близости изучаемого распределения к нормальному, контролировать в некоторой степени результаты вычислений, а также вычислять по уже имеющимся показателям вариации неизвестные.

Эти соотношения зависят от того, какому типу распределения вероятностей подчиняется совокупность исходных данных признака Х.

Так, между средним квадратическим отклонением σ и размахом вариации R существует следующая взаимосвязь:

, откуда R = 6 σ.

Зная и σ можно представить размах вариации как R = ± 3 σ.

Эти соотношения вытекают из правила трёх сигм, по которому при нормальном распределении признака в совокупности его отклонение от средней арифметической по своей абсолютной величине не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.

Другими словами, по закону нормального распределения вероятностей в интервал {±3σ} относительно среднего значения признака попадает 99,7% общего числа наблюдений (по правилу трех сигм). Размах вариации в этом случае ориентировочно соответствует шести средним квадратическим отклонениям. Но это справедливо, если наблюдений достаточно много. В противном случае вероятней всего, что они попадут в интервалы, близко примыкающие к среднему значению.

Рекомендуется оценивать среднее квадратическое отклонение следующим образом:

при числе наблюдений n = 5 делением размаха вариации на 2,30;

при n = 7 – делением размаха вариации на 2,70;

при n = 9 – делением размаха вариации на 3,0;

при n = 10 – делением размаха вариации на 3,10;

при n = 15 – делением размаха вариации на 3,50.

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►18 . В нашем примере для n = 5 находим оценку среднеквадратического отклонения:

(3600 – 2400) / 2,30 = 522 руб.

Она достаточно близка к рассчитанному значению. Для нормального распределения величина среднего линейного отклонения в пределе стремится к соотношению

= 0,79788 σ.

В нашем примере

/σ = 336/411,8 = 0,816.

После корректировки дисперсии на малый размер выборки получаем:

◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

Если совокупность данных подчиняется закону равномерного распределения вероятностей, то

σ =.

Если первичные данные подчинены распределению вероятностей по закону Пуассона, то

σ² = и т.д.

При достаточно большом объёме совокупности между средним квадратическим отклонением σ и средним линейным отклонением существует следующее соотношение:

σ ≈ 1,25 .

Отклонения индивидуальных значений признака от средней являются именованными числами и могут принимать различные значения. Их удобно выражать не в натуральном выражении, а в виде относительных величин.

Для выражения отклонений индивидуальных значений признака от средней или других характеристик в условных стандартных единицах отклонение х - относят к σ и обозначают буквой t.

Полученное отношение называется стандартизированным, или нормированным отклонением. Оно характеризует отклонение х - , приходящееся на единицу σ.

Отклонения, выраженные в долях среднеквадратического отклонения, изменяются в нормальном распределении в очень ограниченных пределах (практически от нуля до трёх). Кроме того, нормирование отклонений даёт возможность сопоставлять между собой отклонения, выраженные в различных единицах измерения. В этом их преимущество перед отклонениями, выраженными именованными числами.

Соотношения между показателями вариации особенно полезно учитывать на начальных стадиях анализа при проверке исходных данных, быстрой числовой оценке вариации, при выборе гипотезы о форме закона распределения и т.д.