- •Основные понятия
- •Скалярное поле
- •Предел функции нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
- •Условия дифференцируемости
- •Производная по направлению
- •Дифференцирование сложной функции
- •Инвариантность формы полного дифференциала
- •Нормаль и касательная плоскость к поверхности
- •Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Операторная форма дифференциалов высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Геометрический смысл условного экстремума функции:
- •Наибольшие и наименьшие значения
- •Составители
- •Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей
Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда
— частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Определение 1. Если существует предел
|
то он называется частной производной функции по аргументу в точке .
Эта частная производная обозначается любым из символов:
|
|
|
|
|
Так как в определении частной производной по значения всех аргументов, кроме , не изменяются, эта частная производная по , вычисляется по тем же правилам, что и производная функции одной переменной .
Односторонние частные производные определяются также как односторонняя производная функции одной переменной.
Геометрический смысл частных производных:
Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой окрестности точки . Пусть она имеет в этой точке частную производную
Согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной является углом между осью OX и касательной к графику этой функции, т.е. к кривой, определяемой системой уравнений
в точке , где . Рис. 8.
Рис.8
Примеры:
Найти частные производные от функций:
;
Решение: Считая функцию ( только одного аргумента: находим соответствующие частные производные.
Условия дифференцируемости
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение
можно представить в виде
где — некоторые числа, не зависящие от — функции , бесконечно малые при и равные нулю при .
— расстояние между точками и . Тогда определение (1) можно записать в форме:
где при и .
Выражение
— линейная часть приращения относительно , — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .
Определение 2. Если функция дифференцируема в точке , то линейная часть ее приращения относительно называется дифференциалом (или полным дифференциалом) функции в точке .
Таким образом
Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Необходимое условие дифференцируемости:
Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные по каждому аргументу , причем
где — числа в определении (1).
Из этой теоремы следует, что приращение дифференцируемой функции можно записать в виде
и ее дифференциал
Пример:
Вычислить приближенные значения:
-
1,083,96;
Решение:
Если требуется вычислить значение функции в точке и если проще вычислить значения этой функции и ее частных производных в точке , то при достаточно малых, по абсолютной величине, значениях разностей можно заменить полное приращение функции ее полным дифференциалом:
Это позволяет найти приближенное значение искомой величины по формуле
-
Полагая, что 1,083,96 есть частное значение функции
В точке М(1,08; 3,96) и что вспомогательная точка будет М0(1;4), вычислим:
Подставляя в формулу, найдем искомое значение:
-
Пусть
есть частное значение функции трех переменных
в точке и пусть вспомогательная точка будет Тогда:
Подставляя получим:
Достаточное условие дифференцируемости:
Теорема 3. Если функция имеет в окрестности точки частные производные, непрерывные в этой точке, то дифференцируема в точке .
Пример: Потенциальная энергия материальной точки массой m = 2 кг изменяется по закону где - постоянные величины; - ускорение свободного падения. Получить выражение для силы, действующей на материальную точку по вертикали, вычислить ее величину.
Указания к решению: Вектор силы F, как любой вектор, можно разложить на составляющие вдоль осей координат
где , орты осей координат. Проекции вектора силы на оси координат связаны с потенциальной энергией материальной точки соотношениями:
т.к. сила направлена по вертикали, то
Ответ: .
Примеры: Найти полные дифференциалы функций:
Решение 1.
а) находим частные производные функции:
б) умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:
в) искомый полный дифференциал функции найдем как сумму ее частных дифференциалов:
Решение 2. Следуя приведенного плана, находим:
а)
б)
в) .