- •Основные понятия
- •Скалярное поле
- •Предел функции нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
- •Условия дифференцируемости
- •Производная по направлению
- •Дифференцирование сложной функции
- •Инвариантность формы полного дифференциала
- •Нормаль и касательная плоскость к поверхности
- •Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Операторная форма дифференциалов высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Геометрический смысл условного экстремума функции:
- •Наибольшие и наименьшие значения
- •Составители
- •Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей
Условный экстремум
Пусть функция
определена в некоторой области и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны соотношениями:
Условия (26) называются уравнениями связи.
Пусть координаты точки удовлетворяют уравнениям связи (26).
Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции (25) при условиях связи (26), если существует такая окрестность точки , что для любой точки , координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (26), выполняется неравенство .
Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
Ограничимся для простоты случаем , , т.е. нахождением условного экстремума функции 2–х переменных.
Пусть функция определена в некоторой области и ее аргументы связаны условием
Допустим, что уравнение (27) определяет неявно функцию . Тогда можно рассматривать сложную функцию . Если эта функция имеет экстремум в точке и y(x0) = y0 , то точка является точкой условного экстремума функции , аргументы которой удовлетворяют уравнению связи (27).
Если уравнение связи (27) можно разрешить относительно и перейти от неявного задания функции к явному, то отыскание условных экстремумов в рассматриваемом случае сводится к отысканию обычных (безусловных) экстремумов функции .
Метод неопределенных множителей Лагранжа
Пусть функции и дифференцируемы в некоторой области . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции при условиях связи
эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:
(28)
Схема метода Лагранжа:
1. Составляем функцию Лагранжа (28).
2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам
и приравниваем их к нулю.
Получаем систему уравнений с неизвестными:
(29)
Если — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку функции при условиях связи (26), в которой функция может иметь условный экстремум.
3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа
при значениях дифференциалов , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи
Замечание. При решении практических задач во многих случаях наличие условного экстремума в стационарной точке определяется существом задачи.
Пример:
Найдем условный экстремум функции при условии . Составим функцию Лагранжа
.
Система (29) при этом выглядит так:
,
откуда . При этом можно представить в виде
,
поэтому в найденной стационарной точке имеет максимум, а – условный максимум.
Геометрический смысл условного экстремума функции:
Условными экстремумами функции при являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности цилиндрической поверхностью .