- •Основные понятия
- •Скалярное поле
- •Предел функции нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
- •Условия дифференцируемости
- •Производная по направлению
- •Дифференцирование сложной функции
- •Инвариантность формы полного дифференциала
- •Нормаль и касательная плоскость к поверхности
- •Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Операторная форма дифференциалов высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Геометрический смысл условного экстремума функции:
- •Наибольшие и наименьшие значения
- •Составители
- •Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
Пусть функция дифференцируема в точке . Ее графиком является поверхность
Положим . Тогда точка принадлежит поверхности.
Частные производные функции суть
и в точке :
-
они непрерывны;
-
.
Следовательно, — обыкновенная точка поверхности и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (19), уравнение касательной плоскости имеет вид:
Рис.12
Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки в произвольную точку есть (рис. 12). Соответствующее приращение аппликаты есть
Здесь в правой части стоит дифференциал функции в точке . Следовательно, есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции в точке .
Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой на графике функции и точкой на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки до точки .
Неявные функции
Понятие и условия существования неявных функций
Функция называется функцией, заданной неявно (или неявной функцией) если она задана уравнением
и прямоугольной областью , если
1) определена в ;
2) уравнение имеет единственное решение .
Иначе говоря, уравнение (20) определяет функцию такую, что .
Аналогично определяют неявные функции любого числа переменных как функции, заданные уравнением и областью.
Условия существования неявной функции
Пусть: функция
-
непрерывна в прямоугольной окрестности
точки , причем ;
-
функция при каждом фиксированном строго монотонна по на интервале .
Тогда существует окрестность точки , в которой уравнение определяет функцию , непрерывную в этой окрестности.
Дифференцирование неявных функций
Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно
Теорема 1. Пусть функция удовлетворяет условиям
-
;
-
частные производные и непрерывны в некоторой окрестности точки ;
-
.
Тогда
-
уравнение определяет неявно в некоторой окрестности точки единственную непрерывную функцию , удовлетворяющую условию .
-
функция имеет производную, непрерывную в окрестности точки .
Выясним смысл условий теоремы.
Существование непрерывной неявной функции в окрестности точки следует из теоремы существования, так как:
-
условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению ;
-
из условия 2 следует непрерывность функции в окрестности точки , а из условия 3 — ее монотонность по при каждом фиксированном из этой окрестности.
Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции , удовлетворяющей условию и непрерывной в окрестности точки .
Производная функции, заданной неявно
Функция в окрестности точки обращает уравнение в тождество, т.е.
Дифференцируя это тождество, получaeм , а в силу инвариантности формы полного дифференциала имеем
Отсюда получаем следующие формулы.
Дифференциал функции, заданной неявно:
Производная функции, заданной неявно:
Теорема 1 обобщается для неявных функций любого числа переменных. Например:
Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям
-
;
-
частные производные , и непрерывны в некоторой окрестности точки ;
-
.
Тогда
-
уравнение определяет неявно в некоторой окрестности точки единственную непрерывную функцию , удовлетворяющую условию ;
-
функция имеет непрерывные частные производные в окрестности точки , вычисляемые по формулам