- •Основные понятия
- •Скалярное поле
- •Предел функции нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные
- •Условия дифференцируемости
- •Производная по направлению
- •Дифференцирование сложной функции
- •Инвариантность формы полного дифференциала
- •Нормаль и касательная плоскость к поверхности
- •Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Операторная форма дифференциалов высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Геометрический смысл условного экстремума функции:
- •Наибольшие и наименьшие значения
- •Составители
- •Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей
Производные и дифференциалы высших порядков
При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями и свойствами частных производных и дифференциалов высших порядков, научитесь их вычислять. Познакомитесь также с формулой Тейлора, важной для дальнейших приложений.
Частные производные высших порядков
Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные
или в других обозначениях
Частные производные являются функциями и , которые, в свою очередь, могут иметь частные производные
Если это так, то последние называются частными производными 2–го порядка функции и обозначаются соответственно:
Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.
Частные производные, образованные дифференцированием по различным аргументам, называются смешанными частными производными. Например, смешанные производные 2–го порядка функции двух переменных суть и
Среди смешанных производных одного порядка выделяют производные:
-
отличающиеся количеством дифференцирований по одноименным аргументам (например, и ;
-
отличающиеся лишь порядком дифференцирования по аргументам (например,).
Теорема о равенстве смешанных частных производных:
Теорема: Если смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.
Дифференциалы высших порядков
Пусть функция дифференцируема в точке и ее аргументам и даны приращения соответственно и . Тогда полный дифференциал первого–го порядка функции определяется формулой
Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , то является функцией и . Кроме того, зависит также от и .
Пусть и — независимые переменные. Приращения независимых переменных и не зависят от и и в этом смысле их можно считать постоянными. Тогда будет функцией только аргументов и . Допустим, что эта функция дифференцируема в точке и ее аргументам даны приращения , (причем, совпадающие с теми, которые вызвали приращение функции с дифференциалом ). Эти приращения вызовут приращение , главная линейная часть которого является полным дифференциалом . Этот полный дифференциал называется дифференциалом 2–го порядка функции в точке и обозначается символом .
Покажем, что дифференциал 2–го порядка выражается через частные производные 2–го порядка, вычисленные в точке и является квадратичной функцией (формой) приращений и .
Применяя к (21) правила дифференцирования и учитывая постоянство dx и dy , получаем:
Если смешанные частные производные
непрерывны в точке и, следовательно, равны, то приводится к виду
т.е. является квадратичной формой функции и .
Операторная форма дифференциалов высших порядков
Если и рассматривать как обозначения дифференциальных операторов, результатами действия которых на функцию являются частные производные и , то
Теперь формулу (22) можно записать в операторной форме
Если является дифференцируемой функцией независимых переменных и в окрестности точки , то аналогично вышеизложенному вводится понятие дифференциала 3–го порядка: при постоянных и .
Дифференциал –го порядка определяется как дифференциал от дифференциала –го порядка: при постоянных и а его связь с частными производными –го порядка выражается формулой
Замечание. Если и не независимые переменные, функции, то формула (20) при в общем случае неверна и, следовательно, дифференциалы порядков функции не обладают свойством инвариантности формы.
Рассмотренные определения дифференциалов высших порядков и их свойства распространяются и на функции с большим, чем два, количеством аргументов.