4. Метод хорд

Пусть выполняются следующие условия: f(a)*f(b)<0, функция f имеет непрерывные производные f ΄ ≠ 0 и f ̀̀̀ ̀≠ 0, которые сохраняют постоянный знак на отрезке [a,b] Пусть f ΄ > 0 и f ̀̀̀ ̀> 0 на [a,b], тогда f(a)<0 и f(b)>0.

Пусть =а начальное приближение через точки и В проведем хорду. Ее уравнение = Пусть у=0 и х=, тогда =-*f(). Через точку () и B (b;f(b)) проведем хорду. Из ее уравнения при у=0 получим =-*f() и т.д. Таким образом получим итерационную последовательность, которая вычисляется рекуррентной формулой. =-*f(). N=0,1… =a. Эта формула верна и для случая, когда f ̀<0 и f ̀̀ ̀ <0 причем =a. Если f ̀и f ̀̀ ̀ различны, то за =b и рекуррентная формула имеет вид: =-*f(). Погрешность вычисляется по формуле: | t - |((M-m)/m)*| -| n=0,1…, где 0m| f ΄(x) |M для x[a;b]

5. Метод касательной

Пусть выполняются следующие условия: f(a)*f(b)<0, функция f имеет непрерывные производные f ΄ ≠ 0 и f ̀̀̀ ̀≠ 0, которые сохраняют постоянный знак на отрезке [a,b] t[a;b]. Рекуррентная формула имеет вид: =-, n=0,1,2… Формула справедлива для всех случаев относительных знаков f(x) и f ''(x) на отрезке [a,b]. Правило выбора начального приближения: 1. Если f ' и f '' одного знака, то =b. 2. Если f ' и f '' разных знаков, то =a. Погрешность вычисляется по формуле: |t-|()^2. 0<m ; 0<|f ''(x)| для [a,b].

6. Комбинированный метод хорд и касательных

Обозначим приближения метода хорд через , а приближения метода касательных через или , причем t и при n. Процесс уточнения до >0 можно остановить как только окажется | и взяв в качестве приближенного корня середину отрезка между и , т.е. t=, когда вычисления ведутся без заданной степени точности, то абсолютную погрешность вычисляют по формуле: =, Комбинированный метод дает возможность ускорить процесс уточнения корней. Для этого при вычислении метод хорд вместо соответствующего неподвижного конца отрезка [a;b] используют приближение найденное методом касательных. Вычисление пары чисел () начинают с , которое определяется формулой метода касательных = n=0,1,2… при соответствующем начальном приближении . Затем находят по формуле метода хорд (во всех случаях относительно знаков производных) =- (n=0,1,2…). Если f ' и f '' одного знака, то =a и =b, если разных, то =b и =a.

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Система n линейных уравнений с n независимыми имеет вид:

++…+=;

++…+=;

++…+=. В матричной форме система имеет вид: A*X=B;

… матрица коэф. системы матрица – столбец матрица-столбец … Х= переменных B= свободных членов

…

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Суть метода: преобразовать исходную систему к равносильной ей системе с треугольной матрицей (прямой ход), из которой затем последовательно записывают значения всех переменных (обратный ход). Метод Гаусса относится к точным методам, т.к. погрешность самого метода равна нулю. Из-за вычислительных погрешностей (при округлении) получить точное решение практически невозможно. Раздел А: коэффициенты исходной системы и свободные члены. Для исключения случайных ошибок предусмотрен текущий контроль, для этого используют столбец контроля сумм () и столбец строчных сумм (S). Контроль в прямом ходе: после того как в раздел А внесены коэффициенты и свободные члены исходной системы находят контрольные суммы – складывают коэффициенты и свободные члены по строкам, результат вносят в раздел ∑. Над контрольными суммами производят те же операции, что и над свободными членами. После выполнения каждого преобразования находят строчную сумму результатов и записывают ее в столбец S(). При отсутствии случайных ошибок числа в столбцах ∑ и S должны практически совпадать. Пусть b – вычисляемый элемент нового раздела, a – соответствующий элемент предыдущего раздела, - горизонтальная проекция элемента b, - вертикальная проекция элемента b. Тогда b=a-. Контроль в обратном ходе раздел В: в столбце свободных членов получают значения переменных, числа в столбце ∑ должны быть ровно на единицу больше самих переменных. Значения в столбце ∑ можно получить, если при вычислении переменных заменить свободные члены и значения уже найденных переменных на соответствующие числа из столбца ∑. Вычислим погрешность: для этого подставим найденные значения в исходную систему и найдем разности между полученными значениями и свободными членами полученной системы. Эти разности называются невязками.