15.Квадратурные формулы Ньютона - Котеса. Формула трапеций.
,
где
Hi
- коэф-т Котеса.
(2)
,h-шаг
таблицы.
Формула трапеции.
Пусть n=1, тогда из (2) следует:
тогда по формуле (1) на отрезке [x0;x1], будет
т.е.
при n=1,
f(x)
заменяется на L1(x)
На
всём отрезке [a;b]
Формула для оценки погрешности:
,
где M2=max(fn(x)),
R-остаточный
член квадратурной формулы, xє[a;b]
16.Квадратурные формулы Ньютона - Котеса. Формула Симпсона.
Пусть h=2
Тогда, для отрезка [x0;x2] из формулы (1), получим:
,
т.е.
(3)
геометрический смысл, при h=2, подынтегральная функция f(x) заменяется параболой L2(x), проходящей через точки Mi(xi;yi) (i=0,1,2..). Если считать h чётным числом, то применяя формулу (3) последовательно к каждой из перечисленных отрезков:
Формула Симпсона
17.Квадратурные формулы Гаусса.
Для метода Гаусса построения квадратных формул важную роль играет вывод узлов для интерполирования подынтегральной функции.
Традиционно выполняется заменой переменной переводящая интеграл по отрезку [a;b] в интеграл по отрезку [-1;1]:
или
Тогда
Используем
линейную интерполяцию с подвижными
узлами
,
величина погрешности зависит от степени
несовпадения площадей (
)
и
Значение
выбирают так, чтобы площадь трапеции
ограниченной сверху прямой
была равна интегралу от многочлена:
Составим
ур-ие
:
Где
тогда
Уравнение
относительно
Вычислив интегралы получим решение
Тогда
Таким образом квадратурная формула Гаусса
применительна
к любой интегрируемой ф-ии y=
Для исходного интеграла
19.Метод Эйлера.
Пусть
требуется найти численное решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющие начальному условию
Обозначим
через
точное решение задачи Коши. Численное
решение будем искать в виде таблицы.
Выберем шаг h
и число n,
и вычислим
.
По формуле Тейлора:
,
где
При
малом шаге h,
получим:
тогда
Теперь
известны
обозначим через
то
решение для которого
и
по формуле Тейлора получим:
,
где
При
малом шаге h,
получим:
тогда
Действуя
аналогично находят частное решение
по имеющимся
20.Модификации метода Эйлера. Метод Эйлера - Коши.
Предполагает
увеличивать направления касательных.
Характерные для концов отрезков
.
Рассмотрим иллюстрацию для i=0
Пунктир
- интегральная кривая (точное решение),
которая проходит через точу
т.е.
Найдем
угловой коэффициент касательной
проведенной к интегральной кривой к
точке
По
формуле Эйлера найдем ординату точки
на этой точке для абсциссы
или
Получим точку
.
Найдем
направление интегральной кривой в точке
:
Найдем
усредненное направление кривых на
, тогда
Этот
метод определяется формулами:
21.Модификации метода Эйлера. Метод серединных точек.
Поиск
идёт в направлении интегральных прямых
в точках, абсциссами которых является
серединой отрезков [
;
].
С начало с помощью метода Эйлера находят
промежуточную или серединную точку с
координатами
=
+
*
,
где
=f(
;
)
затем находят число
=f(
;
)
это число определяет уточненное
направление, тогда
=
+h*
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию для i=0
