12. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть узлы таблицы
|
x |
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
Расположены произвольным образом. Интерполяционным многочленом будем искать в виде:
=
…(x-
)+
(x-
)(x-
)(x-
)+…+
(x-
)…(x-
),
Коэффициенты
,
…
подберем так, чтобы выполнялось условие:
(
)
=
(i=0,1..n)
При x=
все слагаемы формулы
=
…(x-
)+
(x-
)(x-
)(x-
)+…+
(x-
)…(x-
)
начиная со второго равного 0, следовательно
x=
:
(
)=
(
-
)…(
-
)=
,
тогда
=
.
При x=
останется только второе слагаемое, из
него найдем
=
;
Подставим найденные коэффициенты в
формулу
=
…(x-
)+
(x-
)(x-
)(x-
)+…+
(x-
)…(x-
)
и получим выражение для интерполяционного
многочлена Лагранжа .
=
;
=
+
;
=
+
+
.
13. Интерполяционные многочлены Ньютона
Пусть для функции f задана таблица
|
x |
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
В
которой табличные аргументы отличаются
на постоянную величину h>0.
Конечные разности первого порядка –
это разности между соседними табличными
элементами функции.
=
-
.
Конечные разности второго порядка
=
-
.
Формула конечных разностей k-ого
порядка k>1
=
-
(i=0,1…,n-k)
По
таблице конечных разностей находят
наилучшую степень интерполирования.
Если конечная разность k-ого
порядка на каком-то участке почти
постоянны, то составляют многочлен k-ой
степени. Будем искать много член n-ой
степени в виде:
…(x-
).
Коэффициенты
;
…
=
.
x=
:
=
;
x=
:
=
,
h=
.
=
=
Подставим
значения
получим первый интерполяционный
многочлен Ньютона:
=
+
(x-
)+
(x-
)(x-
)+…+
(x-
)…(x-
).
Первая интерполяционная формула Ньютона:
f(x)
(x).
x
[a;b].
Пусть t=
x=
14.Интерполяция сплайнами.
Применяется при большом количестве узлов функции Sm(x) называется интерполяционным сплайном порядка m для ф-ии f(x) заданной таблицей, если выполняются условия:
|
x |
X0 |
X1 |
… |
xn |
|
f(x) |
y0 |
y1 |
… |
yn |
-
на каждом отрезке [xi; xi+1] (i=0,1,…n-1) функция S(x) является многочленом порядка m
-
S(x)и её производные до (m-1) включительно непрерывны на отрезке [x0; xn]
-
S(xi)=y1 (i=0,1,…,n)
Кубический сплайн можно представить в виде:
Где
*
Из п.3 определения сплайна или формулы * найдём коэффициент ai
Обозначим
через
(шаг таблицы) тогда можно получить
равенство:
1
Из п.2 определения сплайна получим:
(i=0,1,…,n-1)
Учитывая введённые обозначение дифференцируем формулу *
(i=2,…,n)
2
Из
п.2 определения сплайна
следовательно
(i=2,…,n)
3
Определим дополнительные условия:
т.е.
или
4
Первое ур-ие системы 4 формально совпадает с формулой 3 при i=0если ввести коэффициент C0 =0
Совокупность равенств 1-4 образуют систему линейных уравнений.
Для построения сплайна необходимо:
-
Сначала находят набор коэффициентов {Ci}для чего в систему уравнений 1-4 преобразуют к виду:
-
Потом находят набор коэф. {di}
-
Потом находят набор коэф. {b1}
-
коэф {a1}известны
Найденные коэффициенты подставляют в формулу * и записывают весь сплайн.