8. Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса
Обозначим
определитель матрицы коэффициентов
системы через D.
При делении первого уравнения на ведущий
элемент
определитель преобразованной системы
станет равным
и т.д. Прямой ход метода Гаусса приводит
матрицу коэффициентов к треугольному
виду с единицами в главной диагонали,
определитель такой матрицы равен 1,
следовательно определитель исходной
матрицы равен произведению ведущих
элементов в методе Гаусса.
9. Решение систем уравнений методом простой итерации
A*X=B.
Пусть задана система n
линейных уравнений с n
уравнениями, приведем систему к виду
X=A*X,
=
+
+…+
+
;
система приведенная к нормальному виду
=
+
+…+
+
;
……………………………………
=
+
+…+
+
.
Метод применим, если выполняется одно из условий:
-
Максимальная из сумм модулей коэффициентов при переменных в правой части системы нормального вида взятых по строкам должна быть меньше 1, т.е.
=
<1 -
Максимальная из сумм модулей коэффициентов при переменных в правой части системы нормального вида взятых по столбцам должна быть меньше 1, т.е.
=
<1 -
Сумма квадратов всех коэффициентов при переменных в правой части системы нормального вида должна быть меньше 1, т.е.
=
<1
Для
применения метода необходимо, чтобы
коэффициенты
и j
было много меньше 1. Для этого с помощью
элементарных преобразований получают
равносильную систему, у которой наибольший
по абсолютной величине коэффициенты
при переменных стоят в главной диагонали
– система с преобладающими диагональными
коэффициентами. Затем все уравнения
делят на соответствующий диагональный
коэффициент. После чего из каждого
уравнения выражают переменную с единым
коэффициентом. За начальное приближение
берут столбец свободных членов системы
нормального вида.
10. Метод Зейделя
A*X=B. Пусть задана система n линейных уравнений с n уравнениями, приведем систему к виду X=A*X,
=
+
+…+
+
;
система приведенная к нормальному виду
=
+
+…+
+
;
……………………………………
=
+
+…+
+
.
Пусть
уже имеется приближение
;
…
.
Элементы вычисляемого приближения
обозначим
;
…
.
Основная идея метода: на каждом шаге
итерационного процесса при вычислении
значения
учитывают уже полученные значения
;
…
,
т.е. найденные значения первой переменной
уже используют для расчета второй.
11. Постановка задачи аппроксимации функций
Функция
f
называется табличной, если на некотором
отрезке [a;b]
D(f)
задана таблица ее значений. Аппроксимация
функции или ее аналитическое приближение
на основе известной таблицы значений
- это поиск такой аналитически заданной
и достаточно просто вычисляемой функции
P,
которая в каком-то смысле близка к
табличной функции f
на всем отрезке [a;b],
|
x |
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
[a;b]=[
;
];
- табличные аргументы;
- табличные значения функции
Если
аргументы равностоящие, т.е.
-
=h=const=0;
h-шаг
таблицы;
=
+ih
(i=0,1,2,…,n)
Пусть
табличная функции f(x)
и приближающая функция p(x)
считаются близкими, если значения этих
функций в табличных аргументах совпадают,
т.е. P(
)=
(i=0,1,2,…,n)
интерполяционная формула.
Способ
аппроксимации с выполнением указанного
свойства называется интерполированием.
Вычисление значений f(x)
с помощью p(x)
в точках лежащих между табличными
аргументами называют интерполяцией. В
этом случае функция p
называется интерполирующей функцией,
а табличные аргументы
;
…
называют узлами интерполяции. Чаще
всего интерполирующую функцию ищут в
виде многочлена (полином)
(x)=
+
+…+
x+
,
тогда интерполирование называется
полиномерными, а соответствующий
многочлен – интерполяционным. Вычисление
значений таблично заданной функции
f(x)
за пределами диапазона значений аргумента
отображено в таблице называемой
экстраполяцией. Формально экстраполяция
ни на чем не основана , но является очень
полезным приемом в исследовании процессов
и явлений. Для экстраполяции функции
можно использовать интерполяционные
формулы, например, формулы Ньютона. Для
x<
применяют первую формулу Ньютона, причем
t
=
<0,
при x>
применяют
вторую формулу Ньютона t
=
>0.