28.Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при an>0 были положительны все n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения составленного по определенному закону: по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения начиная с n-1

Столбцы матрицы заполняются вверх от главной диагонали коэффициентами с убывающими индексами, вниз от главной диагонали – коэффициентами с возрастающими индексами. Коэффициенты с индексами больше n и меньше 0 заменяются нулями. Для нахождения определителя берется n первых строк и столбцов матрицы коэффициентов.

Если все определители больше 0 – системы устойчива.

Если меньше нуля – система не устойчива.

Необходимое и достаточное условие устойчивости:

Необходимое условие устойчивости состоит в положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы.

Критерий устойчивости Рауса.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно чтобы при an>0 были положительными все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса, составленной по следующему правилу:

28 Б

Алгебраические критерии устойчивости. Критерии устойчивости Рауса-Гурвица. Льенара-Шипара.

Известно несколько критериев устойчивости в алгебраической форме: Рауса, Гурвица, Шур-Кона, Льенара-Шипара, Джури-Бланшара, различающихся не по сути, а по форме, поэтому, например, первые два часто называют критерием Рауса-Гурвица. Эти критерии сводят условия устойчивости к выполнению ряда алгебраических неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. Посредством алгебраических критериев определяются условия устойчивости САУ (система автоматического управления) при .

Критерий Рауса-Гурвица

В алгоритмической форме был предложен английским математиком Раусом, а затем в определительной форме швейцарским математиком Гурвицем. Приведем без доказательств эти критерии в форме Рауса и Гурвица. Отметим, что критерий Гурвица достаточно просто можно получить из критерия Рауса. Критерий Рауса формулируется в табличной форме. Таблица Рауса состоит из коэффициентов связанных с коэффициентами по­линома Q(p) следующей рекуррентной формулой:

где i – номер столбца, j – номер строки (число строк равно п +1).

В таблице Рауса строка 1 содержит коэффициенты четными индексами, строка 2 – коэффициенты с нечетными индексами. Строки 3,...,(n+1) подлежат определению через рекуррентную формулу для . Следовательно,

и остальные – по рекуррентной формуле для .

Критерий Льенара-Шипара.

При удобнее применять одну из модификаций критерия Гурвица, называемую критерием устойчивости Льенара-Шипара, который проще и требует раскрытия меньшего числа определителей, чем критерий Гурвица. Число условий устойчивости при его применении существенно снижается. По этому критерию САУ устойчива, если при только или , где k = 1,3,5,7,... . Например, при п = 4, САУ устойчива, если (обычно ).

29. Частотный критерий устойчивости Михайлова

Он является частотным критерием и позволяет судить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по виду годографа характеристического вектора соответствующей системы.

Перейдем к частотной функции характеристического многочлена, заменив p на jw:

Критерий:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты в интервале от 0 до ∞, начинаясь в точке на вещественной положительной полуоси последовательно обходил против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не пересекая начало координат.

2-я формулировка:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ изменение фазы частотной функции характеристического уравнения: Свойства чередования корней.

Для устойчивости системы корни должны чередоваться.