22. Квадратные тригонометрические уравнения.
Решим уравнение:
Надо привести уравнение к одной функции. Для этого заменим cos2 x на 1-sin2x. Получим относительно xinx квадратное уравнение:
Пусть xinx=у, тогда 2у2+5у-3=0
Получили квадратное уравнение
Д=25+24=49
;
Следовательно:
а)
б)
xinx=-3 – решение не имеет
,
к
z
,
к
z
Ответ:
,
к
z
4 xin2x- cosx-1=0 Заменим xin2x на 1- cos2x. Получим 4(1- cos2x)- cosx-1=0 4-4 cos2x- cosx-1=0 -4 cos2x- cosx+3=0 4 cos2x+ cosx-3=0
пусть cosx=у, то
4у2+у-3=0
Д=1-48=49
;
Следовательно,
а) cosx=-1 б)
х=
+2
n, n
z
,
n
z
Ответ:
+2
n;
,
n
z
23. Однородные тригонометрические уравнения.
Определение. Уравнения вида asinx + bcosx=0 называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени; уравнения вида asin2+ bcosxsinx+ ccos2x =0 называют однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.
Алгоритм решения уравнения asin2+ bcosxsinx+ ccos2x =0
-
Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2х.
-
Если этот член содержится, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующем введением новой переменной z=tgx.
-
Если asin2х не содержится, то уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки.
Существует два метода решения тригонометрических уранений: разложение на множители и введение новой переменной.
Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:
sin х — cos х = 0, sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0, cos2 х — sin х cos х = 0.
Решим уравнение sin х — cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin2 х +cos2 х = 1. Итак, в данном случае cos х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на cos2 х. В результате получим tg x — 1 = 0, откуда
tg x = 1, х = π/4 + 2nπ
Аналогично решается и уравнение sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos2 х, получим:
tg2 х — 5 tg х + 6 = 0; (tg x)1 = 2; (tg x)2 = 3.
Поэтому
x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ.
Теперь решим уравнение cos2 х — sin х cos х = 0.
Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на cos2 х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin2 х +cos2 х = 1. Итак, sin х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin2 х. В результате получим:
ctg2 х — ctg х = 0,
откуда (ctg х)1 = 0; (ctg х)2 = 1. Соответственно этому получаются две группы корней:
х = π/2 + nπ и х = π/4 + kπ
24.Тригонометрические неравенства.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
25. Корень n – степени и его свойства.
Корень n- степени из числа а это такое число, n-я степень которого равна а.
Арифметическим корнем n- й степени из числа а называют неотрицательное число, n – я степень которого равна а.
Основные свойства
