36. Логарифмические неравенства.

Простейшими логарифмическими неравенствами являются неравенства вида

где a и b - некоторые действительные числа (a > 0,a ≠ 1).

В зависимости от значений a множества решений неравенства (1) будут следующими:

1. при a > 1 x∈(a^b; +∞);

2. при 0 < a < 1 x∈(0; a^b);

а неравенства (2):

при a > 1 x∈(0; a^b); при 0 < a < 1 x∈(a^b; +∞)

Неравенства вида (1), (2) могут быть обобщены на случай, когда аргументом логарифмической функции является некоторая функция f(x). Так, например, логарифмическое неравенство вида log_af(x) > b эквивалентно следующим системам неравенств:

1). при a > 1

2). при 0 < a < 1

37. Равносильность уравнений и неравенств.

Уравнения f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x) называютсяя равносильными ураснениями, если любой корень 1ого уравнения является корнем 2ого уравнения или наоборот или если оба уравнения не имеют решений.знак равносильности < = >

Правила преобразования равн. Уравнений:

1. если выражение р(х) определено при всех х, при которых определены выражения f(x), g(x), то любое решение уравнения f(x)=g(x) и f(x)+p(x)=g(x)+p(x), то уравнения равносильны

2. если выражение р(х) определено при всех х, при которых определены выражения f(x)и g(x), то любое решение уравнения f(x)=g(x) будет решением уравнения f(x)*p(x)=g(x)*p(x)

3. каждое решение уравнения f(x)=g(x) является решением уравнения (f(x))²=(g(x))² при любом nЭN, т.е f(x)=g(x)< =>(f(x))²=(g(x))²

4. каждое решение уравнения f(x)*g(x)=0 является решением по крайней мере одного из уравнений f(x)=0 и g(x)=0

Неравенства f(x)<g(x) и f1(x)<g1(x) называются равносильными на множестве М, если множества решений этих неравенств совпадают,т.е каждое решение неравенства f(x)<g(x) принадлежат множеству М, являются решением неравенства f1(x)<g1(x) и наоборот.

Если неравенства f(x)<g(x) и f1(x)<g1(x) не имеют решений, то эти неравенства считаются равносильными

Основные свойства равн. Неравенств:

1. если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже выражение, определенное ОДЗ исходного неравенства,то получится неравенство,равносильное данному неравенству.ЗАМЕЧАНИЕ.если перенести слагаемые из одной части в другую,то получится неравенство, равносильное исходному.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже число, больше 0, определенное на ОДЗ исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному неравенству.ЗАМЕЧАНИЕ. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже число(положительное), то получится неравенство, равносильное данному.

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже выражение, меньшее 0, определенное на ОДЗ исходного неравенства,а затем поменять знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.ЗАМЕЧАНИЕ. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, а затем поменять знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному