31. Логарифмы и их свойства.

Логари́фм числа b по основанию a -определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны.

 Основное логарифмическое тождество:

При любом а>0 (а≠ 1) и любых положительных х и у выполнены равенства:

1. log_a1=0.

2. log_aa=1.

3. log_axy =log_ax + log_ay. Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

4. log_a =log_ax—log_ay. Логарифм частного равен разности логарифмов.

5. log_a x^p=p log_a x для любого действительного р. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

32. Десятичные и натуральные логарифмы.

  - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10):

      - натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

     Переход от одного основания к другому:

     

33. Логарифмическая функция: основные понятия, ее свойства и график.

Функцию, заданную формулой

y =log_ax, называют логарифмической функцией с основанием а.

Основные свойства логарифмической функции. 1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R₊, т. е. D(log_a)=R₊.Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а.

2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х.

34. Логарифмические уравнения.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

loga x = b.

(1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

35. Основные способы решения логарифмических уравнений.

I. Решить уравнение

log_x(x² — 3x + 6) =2.

По определению логарифма из этого уравнения следует, что x² = x² — 3x + 6, откуда   х = 2.

Проверка.  При х = 2

log_x(x² — 3x + 6) = log₂ (4 — 6 + 6) = log₂ 4 = 2.

Значит, х = 2 — корень данного уравнения. Ответ,  х = 2.

II. Решить уравнение

lg (x²  —17) = lg (x + 3).

Решение подобных уравнений основано на следующем свойстве логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. Из этого свойства логарифмов вытекает, что если только данное уравнение имеет корни, то они должны удовлетворять уравнению

x²  —17 = x + 3,

откуда

x₁ = 5, x₂ = — 4.

Проверка.   При х = 5

lg (x²  —17) = lg 8;    lg (x + 3) = lg 8.

Значит, х = 5 — корень данного уравнения. При х = —4 левая и правая части данного уравнения не определены, поскольку x²— 17=  — 1 < 0 и  x + 3 = — 1 < 0. Следовательно, х = — 4 не есть корень этого уравнения.

Ответ,   х = 5.

Рассмотрим еще одно уравнение

21g (x— 1) = ¹/₂1g x⁵ — lg √x                          (2)

Выполним следующие преобразования:

21g (x— 1) = 1g (x— 1)²,

¹/₂1g x⁵ — lg √x = lg x^5/2  — lg x^1/2  = lg x^5/2/ x^1/2= lg x².

Таким образом, исходя из уравнения (2), мы пришли к уравнению

1g (x— 1)² = lg x².                                  (3)

Из него вытекает, что (x— 1)² = x², или х = ¹/₂.  Но при х = ¹/₂ левая   часть   уравнения   (2)   не   определена (х — 1 = — ¹/₂ <0); следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Заметим, однако, что для уравнения (3) число ¹/₂ является корнем.  Таким образом,  уравнения  (2)  и (3)  не   эквивалентны друг другу. Это лишний раз говорит о том,  что  при  решении логарифмических уравнений необходимо делать проверку полученных значений. Среди них часто оказываются «посторонние» корни.

III.  Некоторые логарифмические уравнения сводятся к алгебраическим  уравнениям  посредством  введения   новой   неизвестной величины. Если, например, в уравнении

log₃ ² x — 3log₃  x — 10 = 0

log₃  x   обозначить через у, то оно сведется к  квадратному уравнению у² — 3у — 10 = 0, откуда y₁ = — 2, y₂ = 5.   Вспоминая, что у = log₃  x, получаем: если log₃  x = — 2, то x = ¹/₉; если   же  log₃  x = 5, то х = 243.

Проверкой легко установить, что оба эти значения х  удовлетворяют данному уравнению.

Ответ.   x₁ = ¹/₉  ; x₂ = 243.

IV.  Некоторые уравнения  решаются  путем почленного логарифмирования. Пусть, например, дано уравнение

= 100.

Прологарифмируем это уравнение почленно:

]g  = lg 100,

(lg x— 1) lg x = 2.

Обозначая lg x буквой у,   мы приходим к   квадратному уравнению

у² — у — 2 = 0,

имеющему корни y₁ = — 1, y₂ = 2. Вспоминая, что  у = lg x, получаем: либо lg x = — 1, и тогда х = 0,1; либо lg x = 2, и тогда x =100. Проверка.  При х = 0,1

 = 0,1^—1—1 = 0,1^—2 = ¹/_0,01 = 100;

следовательно, х = 0,1 — корень данного уравнения.

При х = 100

  = 100^2—1 = 100

так что х = 100 — также корень уравнения.

Ответ. x₁= 0,1; x₂ = 100.