3. Сглаживание временного ряда

Во многих случаях уровни временного ряда демонстрируют сильные колебания, при этом тенденция развития экономического явления скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четкого выявления тенденции развития часто прибегают к сглаживанию или механическому выравнивания временного ряда, суть которого заключается в замене фактических уровней ряда расчетными, имеющими меньшую колеблемость. Один из наиболее простых приемов сглаживания заключается в применении различного рода скользящих средних.

Пусть задан некоторый временной ряд

y₁, y₂,…, y_n. (3.1)

Рассмотрим процедуру сглаживания этого ряда с помощью трех видов скользящей средней.

1. Простая скользящая средняя.

Сначала определяется интервал сглаживания m (m<n). Чем он продолжительнее, тем сильнее эффект взаимопогашения колебаний. При прочих равных условиях рекомендуется брать m нечетным.

Далее, для первых m уровней временного ряда (3.1) вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т. д. Общая формула для вычисления простых скользящих средних имеет вид:

p+1  t  np, (3.2)

где p=(m1)/2 (при нечетном m).

В результате такой процедуры получаются nm+1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые p и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются).

Замечание 3.1. Для устранения сезонных колебаний на практике часто приходится использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, т.е. при четном m=2р. В этом случае обычно используют формулу:

(3.3)

Иначе говоря, при вычислении простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=2p принимают участие (2p+1) уровней ряда, причем первый и последний уровень берутся с половинными весами.

2. Взвешенная скользящая средняя.

Метод сглаживания ряда с помощью взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Общая формула взвешенной скользящей средней имеет вид:

p+1  t  np. (3.4)

При этом веса w_i выбираются либо произвольно (обычно, чем дальше от центра сглаживающего интервала, тем веса меньше), либо специальным образом.

В последнем случае уровни временного ряда в пределах интервала сглаживания с помощью метода наименьших квадратов аппроксимируются некоторым полиномом степени, выше первой. Значение полинома в середине сглаживающего интервала принимается за взвешенную скользящую среднюю Для различных m нетрудно получить формулы таких взвешенных средних в терминах уровней ряда из интервала сглаживания:

при m=5; (3.5)

при m=7 и т. д.

3. Экспоненциальная скользящая средняя.

Экспоненциальная скользящая средняя представляет собой еще один метод сглаживания временного ряда, отличающийся от предыдущих тем, что при нахождении сглаженного уровня используются значения всех предшествующих уровней ряда от его начала до текущего момента. Эти значения берутся с определенным весом, уменьшающимся по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Экспоненциальное сглаживание осуществляется по рекуррентной формуле:

, (3.6)

где  - параметр сглаживания (0<<1).

Многократно используя формулу (3.6), можно получить явное выражение экспоненциальной средней через уровни ряда:

,

где у₀ - величина, характеризующая начальные условия. Таким образом, экспоненциальная средняя имеет экспоненциально распределенные веса с дисконтирующим коэффициентом (1).

В практических задачах обработки рядов экономических показателей часто рекомендуется (см., например, [12, 14]) выбирать величину параметра  в интервале от 0,1 до 0,3. Однако это, по-видимому, справедливо лишь в случае временных рядов, близких к стационарным. В других случаях выбор параметра сглаживания строго индивидуален.

Что касается начального параметра у₀, то в конкретных задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у₁, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.

Отметим еще одну важную особенность экспоненциальной скользящей средней: при этом методе сглаживания не теряются ни начальные, ни конечные уровни исходного временного ряда.

Пример 3.1.

По данным об урожайности за 16 лет (табл. 3.2) рассчитайте:

Таблица 3.2.