3.4. Трендовые модели на основе кривых роста

Трендовой моделью временного ряда называют модель, основанную на предположении, что отдельные уровни ряда y_t формируются как под воздействием общей тенденции развития, так и под влиянием случайных факторов. Таким образом, имеет место разложение:

y_t=u_t+_t , (3.7)

где u_t - трендовая компонента, а _t - случайная компонента временного ряда.

При этом обычно предполагается, что трендовая компонента может быть определена некоторым аналитическим выражением, а случайная компонента представляет собой так называемый "белый шум", т. е. удовлетворяет трем условиям: а) ее математическое ожидание равно нулю: М[_t]=0; б) ее дисперсия постоянна: D[_t]=const; в) случайные остатки, относящиеся к разным наблюдениям, независимы: cov(_t,_s)=0 при ts.

Кроме аддитивной модели (3.7) достаточно часто используется мультипликативная трендовая модель:

y_t=u_t_t , (3.8)

в которой свойствами "белого шума" обладает логарифм случайной компоненты: ln(_t).

Построение трендовой модели временного ряда производится в несколько этапов.

Этап 1. Выбор общего вида трендовой компоненты, т.е. типа кривой, форма которой соответствует тенденции временного ряда.

Отметим основные типы кривых, используемых для построения трендовых моделей.

а) Линейная функция (линейный тренд):

u_t=а₀+а₁t. (3.9)

Ее графиком является прямая линия.

б) Парабола (полином 2-го порядка):

u_t=₀+₁t+₂t² (₂0). (3.10)

График - парабола, ветви которой при ₂>0 направлены вверх, а при ₂<0 - вниз.

в) Полином m-го порядка:

u_t=₀+₁t+₂t²+…+ _mt^m (_m0). (3.11)

Графики полиномов при m>2 сильно различаются в зависимости от значений коэффициентов и не имеют какой-либо единой формы.

г) Показательная функция (экспонента):

u_t=аb^t (a0; b0; b1) (3.13)

или

(a0; b0) (3.14)

Общий вид графиков функции (3.13) при а>0 и при различных значениях коэффициента b изображены на рисунке 3.2.

Рис. 3.1. График показательной функции

д) Модифицированная экспонента

u_t=k+аb^t (a0; b0; b1) (3.15)

С помощью данной кривой описываются процессы "с насыщением". Кривая имеет асимптоту y=k. При решении экономических задач чаще всего приходится иметь дело с кривой, у которой a<0, 0<b<1. В этом случае рост уровней ряда происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу (рис. 3.2).

Рис. 3.2. График модифицированной экспоненты

е) Степенная функция (степенной тренд)

u_t=аt^b (a0; b0) (3.16)

Общий вид графиков степенного тренда при a>0 изображен на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Графики степенной функции

ж) Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида:

(3.17)

Другие виды этой кривой:

.

Всюду предполагается, что все коэффициенты положительны.

График логистической кривой имеет характерный S-образный вид (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График логистической кривой

Логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба. С помощью этой функции хорошо описывается развитие новой отрасли (нового производства). Сначала технические методы производства еще не достаточно разработаны, спрос на рынке на данный товар еще не велик, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется и, наконец, почти прекращается. Наступает стабилизация производства на определенном уровне.

з) Кривая Гомперца:

. (3.18)

Для решения экономических задач наибольший интерес представляет вариант этой кривой, когда k>0, a>0, 0<b<1. В этом случае данная кривая также имеет S-образный вид, но в отличие от логистической кривой, не является симметричной.

Для выбора подходящей трендовой модели используются различные методы. Это могут быть:

- содержательный анализ сущности развития рассматриваемого процесса;

- визуальный выбор (анализ графического изображения уровней временного ряда или его скользящих средних);

- выбор кривой на основе принятого критерия (например, по значениям коэффициента детерминации);

- метод характеристик прироста, суть которого заключается в исследовании динамики различных характеристик прироста сглаженных уровней временного ряда и близости этой динамики к некоторым эталонным закономерностям (данный метод подробно рассмотрен в [13, 15]).

Замечание 3.2. Как правило, выбор формы кривой для трендовой модели на первом этапе не является однозначным, а сводится к ряду альтернатив, исследование которых происходит на следующих этапах.

Этап 2. Оценивание параметров трендовой модели.

Способ оценивания параметров выбранной трендовой модели впрямую зависит от формы этой модели, т.е. от вида трендовой компоненты и от способа вхождения случайной составляющей.

1-й случай. Трендовая модель временного ряда, линейная по параметрам.

Это значит, что она представима в виде:

. (3.19)

Например, это может быть полиномиальная модель:

y_t=а₀+а₁t+а₂t²+…+ а_mt^m+_t.

В этом случае оценивание параметров, как правило, производится с помощью метода наименьших квадратов. При этом модель (3.19) может быть проинтерпретирована как модель парной регрессии, в которой единственным объясняющим фактором является время t. Используя результаты первой и второй глав, приведем формулы для МНК-оценок параметров модели (3.19):

,

где - вектор-столбец МНК-оценок параметров модели;

- вектор-столбец уровней временного ряда;

.

Кроме того, те же оценки могут быть получены посредством стандартных процедур, входящих в известные пакеты прикладных программ. Об этом также шла речь в первой главе.

2-й случай. Трендовая модель временного ряда, нелинейная по параметрам, но сводящаяся к линейной с помощью некоторого преобразования.

Например, модель сводится к линейной с помощью операции логарифмирования. Действительно, имеем: , откуда и окончательно .

Вводя обозначения , , , , получим линейную модель , параметры которой могут быть оценены выше приведенным способом.

3-й случай.. Трендовая модель временного ряда, нелинейная по параметрам, и которая не может быть сведена к линейной ни каким преобразованием.

Например, модель , формально мало чем отличающаяся от модели, рассмотренной выше, не может быть сведена к линейной. И оценивание ее параметров связано со значительными трудностями.

В этом случае можно рекомендовать два подхода.

Первый подход связан с применением уже упоминавшегося нелинейного метода наименьших квадратов, связанного с непосредственным решением задачи оптимизации:

.

Второй подход основан на применении методов, специфичных для той или иной трендовой модели. В [13] достаточно подробно рассмотрены способы оценки параметров модифицированной экспоненты, логистической кривой, кривой Гомперца и некоторых других нелинейных моделей.

Этап 3. Проверка качества построенной трендовой модели.

Проверка качества построенной трендовой модели осуществляется по той же схеме, что и для обычной регрессии за вычетом исследования некоторых специфических проблем - проблемы мультиколлинеарности, проблемы гетероскедастичности. Перечислим лишь ключевые моменты проверки качества.

а) Вычисление коэффициента детерминации R². При прочих равных условиях, чем значение R² больше (чем ближе к единице), тем качество трендовой модели выше.

б) Проверка статистической значимости модели в целом с помощью F-критерия Фишера (в предположении, что случайные остатки подчиняются нормальному закону распределения).

в) Проверка статистической значимости параметров модели с помощью t-критерия Стьюдента (также в предположении о нормальном распределении остатков).

г) Проверка условий "белого шума" применительно к случайным остаткам. При этом ряд эмпирических остатков формируется из отклонений фактических уровней временного ряда (y_t) от расчетных (),

,

где в качестве расчетных уровней выступают значения трендовой компоненты u_t. Ключевыми являются три свойства, требующие проверки:

• случайность колебаний уровней ряда из e_t;

• соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону с нулевым математическим ожиданием;

• независимость значений уровней ряда остатков между собой.

Первое из перечисленных свойств может быть установлено с помощью методов проверки гипотезы об отсутствии тенденции, описанных в параграфе 3.2.

Способы проверки второго свойства подробно описаны в [7, с. 73-75].

Проверка третьего свойства обычно сводится к применению теста Дарбина-Уотсона, описанного в параграфе 2.6 предыдущей главы.

Замечание 3.3. Если в ходе параметризации исходная модель была преобразована в модель, линейную по параметрам, то все перечисленные процедуры проверки качества относятся к преобразованной, а не к исходной модели.

Этап 4. Экстраполяция по построенной трендовой модели.

Построенная трендовая модель обычно используется с целью прогнозирования будущих уровней временного ряда или экстраполяции.

Экстраполяция - продолжение в будущее тенденции, наблюдаемой в прошлом - как метод прогнозирования эффективен, если, во-первых, колебания уровней исходного ряда относительно трендовой кривой не слишком велики и, во-вторых, общие условия, определяющие тенденцию развития процесса в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

При выполнении этих условий экстраполяция по трендовой модели может быть реализована с помощью формулы:

, (3.20)

где n - момент (период) времени, к которому относится последний наблюдаемый уровень ряда, L - период прогнозирования, u_n+L - трендовая компонента, оцененная в ходе построения модели.

Помимо рассмотренного способа экстраполяции в некоторых случаях могут использоваться более простые методы, в которых трендовая компонента задана неявным образом – метод экстраполяции по среднему абсолютному приросту и метод экстраполяции по среднему темпу роста.

Экстраполяция по среднему абсолютному приросту осуществляется по формуле:

, (3.21)

где y_n – последний уровень временного ряда, – средний абсолютный прирост, рассчитываемый следующим образом:

. (3.22)

Применение указанного метода эффективно только в том случае, когда общая тенденция временного ряда близка к линейной.

Экстраполяция по среднему темпу роста производится по формуле:

, (3.23)

где - средний темп роста уровней временного ряда, который рассчитывается следующим образом:

. (3.24)

Данный метод эффективен только тогда, когда общая тенденция ряда близка к экспоненте.

Пример 3.2.

Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах области:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
Урожайность (ц/га)	10,2	10,7	11,7	13,1	14,9	17,2	20,0	23,2

Обоснуйте выбор уравнения тренда; рассчитайте параметры уравнения тренда; дайте прогноз урожайности зерновых на следующий год.

Решение.

Построим график заданного временного ряда (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Динамика урожайности зерновых

Судя по графику, общая тенденция динамики урожайности зерновых близка к показательной функции. Из двух альтернативных моделей

или

выберем первую модель, так как она сводится к линейной с помощью операции логарифмирования (об этом речь шла выше).

Определим параметры линеаризованной модели , где , , , с помощью функции ЛИНЕЙН из ППП Excel. Для этого предварительно прологарифмируем исходный массив данных по урожайности (значения y_t), используя, например, встроенную функцию LN. Имеем:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
yt	10,2	10,7	11,7	13,1	14,9	17,2	20,0	23,2
	2,322	2,370	2,460	2,573	2,701	2,845	2,996	3,144

Предположим, что преобразованная случайная компонента удовлетворяет условиям «белого шума» и распределена по нормальному закону. Выполняя стандартные процедуры, описанные в параграфе 1.5, получим следующие результаты: оценки параметров , ; стандартные ошибки параметров , ; коэффициент детерминации R²=0,981. Соответствующие значения t-статистик параметров равны: , ; критическое значение t-статистики при уровне значимости 0,05 равно t_табл=2,447. Следовательно, оба параметра статистически значимы. Учитывая близость к единице значения коэффициента детерминации R², можно сделать вывод о высоком статистическом качестве линеаризованной модели.

Найдем оценки параметров исходной модели: , . Таким образом, трендовая модель может быть записана в виде: .

На основе построенной модели сделаем прогноз урожайности на следующий (девятый) год: .

Попробуем сделать то же самое методом экстраполяции по среднему темпу роста. Для этого последовательно воспользуемся формулами (3.24) и (3.23). Имеем:

и