2. Краткие сведения из теории

2.1. Частотный метод синтеза регуляторов для систем с распределенными параметрами

Для заданного распределенного объекта (известна его математическая модель, либо имеется сам объект управления, на котором можно проводить экспериментальные исследования) синтезировать регулятор, стабилизирующий функцию выхода. При этом на статическую ошибку и на запасы устойчивости разомкнутой системы наложены следующие ограничения [2, 3]:

1. статическая ошибка ;

2. запас по модулю ;

3. запас по фазе ;

4. при решении задачи синтеза положим, что входное воздействие представимо в виде ряда

, (2.1)

здесь - заданные числа; - коэффициенты разложения входного воздействия в ряд Фурье; - переменные, представляющие собой комбинацию тригонометрических функций.

Далее анализируются амплитудные и фазовые частотные характеристики объекта, выбирается структура регулятора в виде распределенного звена

2.2. Распределенные звенья

В [2, 3] введены распределенные звенья и блоки и разработана методика синтеза для пространственно-инвариантных систем. Коротко рассмотрим некоторые из них.

Поскольку процесс регулирования не зависит от физической природы регулируемой величины, то среди всех распределенных звеньев, составляющих систему регулирования и обладающих свойством пространственной инвариантности, можно выделить следующие «элементарные» звенья.

Положим, что имеется распределенное звено, у которого определены входное воздействие и функция выхода [2, 3]. Пусть заданы изображения по Лапласу при нулевых начальных условиях входного воздействия и функции выхода , которые связаны соотношением

, (2.2)

где - заданное число (общий коэффициент усиления); x, y – пространственные координаты; - лапласиан; n₁ – весовой коэффициент (): при n₁=1 ; при .

Передаточную функцию распределенного звена, определяемую отношением к , можно записать следующим образом:

. (2.3)

Распределенное звено, передаточная функция которого может быть представлена в виде (3), называется пространственно-усилительным.

Для определения статических характеристик пространственно-усилительного звена представим входное воздействие в виде ряда Фурье

,

(где - пространственные моды) и определим функцию выхода

.

Преобразуя, придем к следующему результату

.

Коэффициент усиления пространственно-усилительного звена по каждой составляющей ряда входного воздействия имеет вид

, . (2.4)

Из (2.4) следует, что рассматриваемое звено обладает свойством пространственной инвариантности. Представим (4) в следующей форме

, (2.5)

где - дискретная функция . Значения функции зависят не только от , но и от . Таким образом, передаточная функция пространственно-усилительного звена может быть представлена бесконечной совокупностью коэффициентов усиления (2.5). Работать с бесконечным набором функций (2.5) не всегда удобно. Перейдем от набора функций (2.5) к функциональной зависимости K(G). Для этого заменим непрерывной функцией G с областью определения . В этом случае, при изменении G от 0 до , охватятся все дискретные значения . Выражение (2.5) с учетом изложенного выше, может быть записано в виде

, .

Передаточные функции распределенных звеньев, рассмотренные ниже, получены аналогично передаточной функции пространственно-усилительного звена.

Идеальное пространственно-дифференцирущее звено

.

Пространственно-форсирующее звено.

.

Идеальное пространственно-интегрирующее звено.

.

Пространственно-изодромное звено.

,

где E_i – заданные числа ; n_i – весовые коэффициенты , =2, 3, 4, 5.